Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.
|
|
Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x = (x 1, x 2, … x n)пространства R n ставится в соответствии единственный вектор y = (y 1, y 2, … y m) пространства R m, то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение), действующий из R n в R m и записывают y = A (x).
Оператор называется линейным, если для любых векторов x и y пространства R n и любого числа a выполняются соотношения:
1) A (x + y) = A (x) + A (y)– свойство аддитивности оператора;
2) A (a × x) = a × A (x)– свойство однородности оператора.
Вектор y = A (x) называется образом вектор а x, а сам вектор x - прообразом вектора y.
18. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы.
Рассмотрим далее отображение линейного пространства R n в себя. Зафиксируем базис e 1, e 2,..., e nэтого пространства.
Связь между вектором x и его образом A (x) можно выразить в матричной форме уравнением Y = A × X, где A – матрица линейного оператора A в заданном базисе, X = (x 1, x 2, … x n)¢, Y = (y 1, y 2, … y n)¢ - матрицы-столбцы из координат векторов x и y.
Теорема Каждому линейному оператору линейного пространства R nв себясоответствует матрица в данном базисе. Обратно, всякой матрицеn - го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства.
Доказательство основано на теореме о единственности разложения вектора линейного пространства по базису и свойствах аддитивности и однородности линейного оператора.
Пусть x = x 1 e 1+ x 2 e 2+...+ x n e n. Тогда A (x) = x 1 A (e 1) + x 2 A (e 2) +... + x n A (e n) = = x 1(a 11 e 1+ a 21 e 2+…+ a n1 e n)+ x 2(a 12 e 1+ a 22 e 2+…+ a n2 e n)+... + x n(a 1n e 1+ a 2n e 2+…+ a nn e n) =
= (a 11 x 1+ a 12 x 2+…+ a 1n x n) e 1+ (a 21 x 1+ a 22 x 2+…+ a 2n x n) e 2+ (a n1 x 1+ a n2 x 2+…+ a nn x n) e n.
С другой стороны, y = y 1 e 1+ y 2 e 2+... + y n e n.
Следовательно, 
Ранг матрицы A называется рангом оператора A.
Суммой двух линейных операторов A и B называется оператор(A + B), определяемый равенством(A + B)(x) = A (x) + B (x).
Произведением линейного оператора A на число lназывается операторl A, определяемый равенствомl A (x) =l(A (x)).
Произведением двух линейных операторов A и B называется оператор(AB), определяемый равенством(AB)(x) = A (B (x)).
Нулевым оператором называется оператор, переводящий все векторы пространства R n в нулевые векторы.
Тождественным оператором называется оператор E, переводящий каждый вектор в себя, то есть E (x) = x.
19. Собственные векторы и собственные значения оператора 
(матрицы А). Характеристический многочлен оператора и его характеристическое уравнение.
n -мерный вектор x ¹ 0 называется собственным вектором линейного оператора A, если существует такое число l, что A (x) = l× x. Число l называется собственным значением оператора A, соответствующим вектору x.
Можно доказать, что ненулевое решение уравнения A× X = l× X существует тогда и только тогда, когда определительç A - l× E ç =0, где E - единичная матрица n –го порядка.
Определительç A - l× E ç является многочленом n –ой степени относительно переменнойlи называется характеристическим многочленом линейного оператора A.
Характеристическим уравнением линейного оператора A называется уравнениеç A - l× E ç =0.
Можно доказать, что характеристический многочлен линейного оператора A не зависит от выбора базиса линейного пространства.