Векторное (линейное) пространство. Его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса.

Векторным (линейным) пространством называется множество n-мерных векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие определенным свойствам (аксиомам).

Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует n-линейно независимых векторов, а любые из (n + 1) векторов являются линейно зависимыми

Размерностью векторного пространства называется число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

Теорема Каждый вектор линейного пространства можно представить и притом единственным образом в виде линейной комбинации векторов базиса

x = x1 e1+ x2 e2+... +xn en.

Представление произвольного вектора линейного пространства в виде линейной комбинации векторов базиса этого пространства называется разложением данного вектора по базису.

15. Скалярное произведение векторов в n -мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора.

Скалярным произведением двух векторов x = (x ₁, x ₂, … x _n)и y = (y ₁, y ₂, … y _n) n -мерного пространства называется число

(x, y) = x ₁× y ₁ + x ₂× y ₂ + … + x _n× y _n.

Евклидовым пространством называется линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее определенным условиям (аксиомам).

Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата

.