Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл параметров окружности и эллипса.

Кривой второго порядка называется множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка с двумя переменными

Ax ² + Bxy + Cy ² + Dx + Ey + F = 0,

где A, B, C, D, E, F – действительные числа, причем A, B и C одновременно не равны нулю.

Определение 2. Уравнение Ax ² + Bxy + Cy ² + Dx + Ey + F = 0называется общим уравнением кривой второго порядка.

В зависимости от коэффициентов A, B, C, D, E, F можно задать четыре типа невырожденных кривых: окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

Рассмотрим уравнение, в котором B=0, коэффициенты A и C одновременно не равны нулю (A ² + C ² ¹ 0):

Ax ² + Cy ² + Dx + Ey + F = 0.

Для задания невырожденной кривой второго порядка (оси которой параллельны координатным осям) необходимо выполнение условий:

1. если A = C, то уравнение определяет окружность;

2. если A × C > 0, то уравнение определяет эллипс;

3. если A × C < 0, то уравнение определяет гиперболу;

4. если A × C =0, то уравнение определяет параболу.

Определение 3. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Определение 4. Нормальным уравнением окружности радиуса R с центром в точке называется уравнение(x-x ₀)² + (y-y ₀)² = R ².

В частности, уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид x ² + y ² = R ²и называется каноническим уравнением окружности.

Определение 5. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек F ₁и F ₂, есть величина постоянная, равная 2 a, т.е. для любой точки M эллипса выполняется соотношение: ½ F ₁ M ½ + ½ F ₂ M ½ = 2 a.

Точки F ₁(c, 0)и F ₂(- c, 0)называются фокусами эллипса.

Определение 6. Каноническим уравнением эллипса (в канонической системе координат) называется уравнение .

В этом случае оси координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат является его центром симметрии.

Вершинами эллипса являются точки A ₁(a, 0), A ₂(- a, 0), B ₁(0, b)и B ₂(0, - b).

Если параметры a и b удовлетворяют условию a > b, то они называются соответственно большой и малой полуосью эллипса.

Расстояние от начала координат до фокусов равно c и определяется соотношением .

Если параметры a и b удовлетворяют условию a < b, то фокусы эллипса расположены на оси Oy в точках F ₁(0, c)и F ₂(0, - c), а .

Если центр эллипса смещен относительно начала координат в точку O (x ₀, y ₀), то уравнение эллипса будет иметь вид и называться нормальным уравнением эллипса.

Приведение общего уравнения эллипса к нормальному виду проводится методом выделения полных квадратов по переменным x и y.