Тема 5.3 Показатели вариации в статистике

Вариация. Абсолютные показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Спо­собы расчета дисперсии. Относительные показатели вариации: коэффициенты осцилляции, вариации.

Литература В.С. Мхитарян / Статистика», с. 112-119

Практическое занятие №5 «Оценка степени вариации изучаемого признака»

Методические указания

Средняя величина является обобщающей характеристикой, но чем больше колеблются индивидуальные значения изучаемых признаков, из которых вычислена средняя величина, тем разнообразнее условия и тем менее точной характеристикой таких признаков является средняя.

Колеблемость, многообразие, изменяемость величины признака у единиц совокупности называются вариацией.

Для измерения размера вариации в статистике используется система абсолютных и относительных показателей.

К абсолютным показателям относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.Самым простым является размах вариации – это разность между максимальным и минимальным значениями признака (R=x_max-x_min).Основным недостатком этого показателя является то, что он определяется двумя крайними значениями, в то время как вариация признака складывается из всех его значений. Часто размах вариации имеет важное смысловое значение. Им определяются пределы, в которых могут колебаться размеры тех или иных параметров деталей при контроле качества продукции, при анализе устойчивости режима производственного процесса.

На заре статистической науки было предложено брать в качестве меры вариации среднее абсолютное значение отклонений от средней величины значений признака, не принимая во внимание их знаки. Такая мера вариации получила название среднего линейного отклонения d:

(12)

Для вариационного ряда: . (13)

Среднее линейное отклонение представляет средние показатели, полученные из отклонений индивидуальных значений признака от их среднего размера.

Но нельзя построить меру вариации, игнорируя основное свойство отклонений как величин, принимающих и положительные и отрицательные значения. Среднее линейное отклонение не улавливает статистической размерности отклонений. Размерность этих величин соответсвует второй степени. Вторая степень позволит привести отрицательные и положительные значения отклонений к системе положительных величин. Отсюда основной мерой вариации является дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней величины. В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой:

(14)

или взвешенной: . (15)

Среднее квадратическое отклонение – показатель степени однородности изучаемой совокупности. Поэтому он может быть использован для оценки надежности средней арифметической. Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии:

(16)

для вариационного ряда: (17)

Среднее квадратическое отклонение σ выражается в тех же единицах измерения, что и исходные значения x_i. Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности.

Литература В.С.Мхитарян / Статистика», с. 110-112

Тема 5.4 Структурные характеристики вариационного ряда распределения

Мода. Медиана. Квартили, децили и перцентили. Квартальные и децильные коэффициенты.

Практическое занятие №6 «Анализ структуры вариационных рядов»

Методические рекомендации

Из структурных средних, характеризующих особенности распределения частот внутри ранжированных и вариационных рядов, получили распространение мода, медиана, квартили и децили.

Модой в статистике называется величина признака (варианта), которая наиболее часто встречается в данной совокупности. В вариационном ряду это будет варианта, имеющая наибольшую частоту. В дискретном вариационном ряду модой называют ту варианту, которая имеет наибольшую частоту повторения.

В интервальном ряду моду определяют по формуле:

(18)

где - нижняя граница модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота предмодального интервала;

- частота интервала, следующего за модальным;

- величина интервала.

Медианой в статистике называется значение признака у единицы, которая расположена в середине упорядоченного ряда, а в вариационном ряду медианой будет величина признака, которая делит ряд пополам по сумме накопленных частот.

По данным интервального вариационного ряда медиана определяется по следующей формуле:

(19)

где: Ме - медиана;

- нижняя граница медианного интервала;

- сумма накопленных частот;

- сумма накопленных частот, предшествующих медиан-

ному интервалу;

-частота медианного интервала;

h- величина медианного интервала.

Литература В.С.Мхитарян / Статистика», с. 112-115

Вопросы для самопроверки

1. Что относится к структурным средним

2. Что характеризует мода

3. Как найти значение медианы

а) индивидуальный;

б) свободный.

2. К какому виду по временному фактору относится показатель “Число рекламаций на продукцию предприятия”?

а) моментальный;

б) интервальный.

3. Чтобы получить относительный показатель динамики с переменной базой сравнения для i-го периода, необходимо:

а) перемножить относительные показатели динамики с постоянной базой сравнения за i-й и (i-1) периоды;

б) разделить относительный показатель динамики с постоянной базой сравнения за i-й период на аналогичный показатель за период (i-1);

в) разделить относительный показатель динамики с постоянной базой сравнения за i-й период на аналогичный показатель за период (i+1).

Относительный показатель реализации предприятием плана производства продукции составил 103 %, при этом объем производства по сравнению с предшествующим периодом вырос на 2 %. Что предусматривалось планом?

а) снижение объема производства;

б) рост объема производства.

Сумма относительных показателей координации, рассчитанных по одной совокупности, должна быть:

а) строго равной 100;

б) меньше 100 или равной 100;

в) меньше, больше или равной 100.

Объем совокупности – это:

а) сумма всех значений осредняемого признака по совокупности;

б) общее число единиц в совокупности.

В каких случаях взвешенные и невзвешенные средние равны между собой?

а) при отсутствии весов;

б) при равенстве весов;

в) при отсутствии или равенстве весов.

В каких случаях используется средняя гармоническая?

а) когда неизвестен числитель исходного соотношения;

б) когда неизвестен знаменатель исходного соотношения.

Изменится ли средняя величина, если все веса уменьшить на некоторую постоянную величину?

а) изменится; б) не изменится.