Графическое изображение вариационных рядов

Для наглядности статистические ряды представляют графиками, наиболее распространёнными являются полигон и гистограмма. Полигон применяется для изображения как дискретных, так и интервальных статистических рядов, гистограмма – для изображения только интервальных рядов. Покажем построение этих графиков на примере.

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладываем частичные интервалы значений случайной величины , на каждом из которых строим прямоугольник, высота которого равна соответствующей частоте интервала . Если на гистограмме частот соединить середины верхних сторон элементарных прямоугольников, то полученная замкнутая ломаная образует полигон распределения частот (рис. 1). По гистограмме приближённо определим моду (см. подраздел 5.1).

Замечание: в теории вероятностей гистограмме и полигону относительных частот соответствует график функции плотности распределения. По виду полигона делают первоначальное предположение о законе распределения исследуемой случайной величины.

Рисунок 1. – Графическое изображение вариационного ряда.

4. Эмпирическая функция распределения

Пусть известен статистический ряд количественного признака X. Введем обозначения: – число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака меньше (накопленная частота); n – объем выборки; – относительная частота события (относительная накопленная частота).

Эмпирической функцией распределения называют функцию , равную относительной накопленной частоте события :

.

В отличии эмпирической функции распределения выборки, интегральную функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Теоретическая функция распределения определяет вероятность события : , эмпирическая – относительную частоту этого события. Вследствие закона больших чисел (теорема Бернулли) относительная частота события , т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события, т.е. к . обладает всеми свойствами , а именно:

1) ;

2) – неубывающая функция;

3) =0 при , – наименьшая варианта;

4) =1 при , – наибольшая варианта.

Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности. В столбец «Накопленная частота» таблицы 2 запишем значения, полученные по формуле:

Таблица 2.

Интервалы	Середина интервала	Частота	Накопленная частота	Относительная накопленная частота
[6, 75; 7, 18)	6, 97			0, 03
[7, 18; 7, 61)	7, 40			0, 09
[7, 61; 8, 04)	7, 83			0, 11
[8, 04; 8, 47)	8, 26			0, 25
[8, 47; 8, 9)	8, 69			0, 39
[8, 9; 9, 33)	9, 12			0, 63
[9, 33; 9, 76)	9, 55			0, 77
[9, 76; 10, 19)	9, 98			0, 89
[10, 19; 10, 62)	10, 41			0, 98
[10, 62; 11, 05)	10, 84			1, 00

Рисунок 2. – График эмпирической функции распределения.

Для построения графика эмпирической функции распределения (кумуляты) на оси абсцисс откладывают интервалы, на оси ординат – относительные накопленные частоты, соответствующие правым границам интервала. на левой границе первого интервала равна нулю. Кумулята представляет собой ломанную линию (рис. 2). По кумуляте приближённо определим значение медианы (см. подраздел 5.1).