Проверка гипотезы о виде распределения

Проверка гипотезы о законе распределения значения признака в генеральной совокупности осуществляется с помощью критериев согласия.

Проверяемая (нулевая) гипотеза утверждает, что значения признака в выборке, взятой из генеральной совокупности, распределены по предполагаемому закону.

Для проверки гипотезы о виде распределения необходимо вычислить теоретически ожидаемые (выравнивающие) частоты, которые должны были бы получиться, если бы распределение действительно соответствовало предполагаемому.

Теоретические частоты вычисляются по формулам:

1) в случае дискретной случайной величины , где – объем выборки; – вероятность случайной величины принять значения равное .

2) в случае непрерывной случайной величины , где – объем выборки, – середина интервала; – функция плотности теоретического распределения, вычисленная в точке ; h – длина интервала.

Проверку гипотезы о виде теоретического распределения можно провести с помощью критерия согласия Пирсона , основанного на статистике:

где – опытные частоты, – выравнивающие частоты.

Гипотеза отвергается, если вычисленное значение окажется больше критического , найденного по таблицам распределения для уровня значимости и числа степеней свободы , где – число интервалов, – число оцениваемых параметров предполагаемого теоретического распределения (приложение 2).

Например, если проверяется согласие экспериментальных данных нормальному закону распределения, для которого r =2, то число степеней свободы .

Следует учитывать, что при использовании критерия согласия Пирсона общее число наблюдений должно быть достаточно большим ( 50), и число наблюдений в интервалах должно быть не менее пяти . Интервалы, у которых < 5 нужно объединить, а их частоты сложить.

Проверим для нашего примера гипотезу о нормальном законе распределения изучаемой величины для уровня значимости . Найдем выравнивающие частоты.

Таблица 4.

6, 97		11	-2, 09	-2, 34	0, 0258	1, 2412		12
7, 40		-1, 66	-1, 86	0, 0707	3, 4014
7, 83		-1, 23	-1, 38	0, 1569	7, 5485
8, 26		-0, 80	-0, 89	0, 2685	12, 9176
8, 69		-0, 37	-0, 41	0, 3668	17, 6469
9, 12		0, 06	0, 07	0, 3980	19, 1479
9, 55		0, 49	0, 55	0, 3429	16, 4970
9, 98		0, 92	1, 03	0, 2347	11, 2915
10, 41		11	1, 35	1, 51	0, 1276	6, 1389		9
10, 84		1, 78	1, 99	0, 0551	2, 6509

Находим с учетом объединения интервалов (объединяем первый, второй и третий интервалы, а также девятый и десятый)

=

=3, 15.

Определим . Число степеней свободы =7–3=4, тогда при уровне значимости имеем =9, 5.

Имеем < . Следовательно, в рассматриваемом примере нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении изучаемой случайной величины.

Вид функции плотности вероятности данной случайной величины, распределённой по нормальному закону в нашем случае:

.

Интегральная функция распределения такова

.

Построим кривую Гаусса данного распределения. Найдем максимум кривой Гаусса

.

Рисунок 6. –.Полигон частот и кривая Гаусса