Предварительный выбор закона распределения

Большинство применяемых в практике контроля статистических методов основано на предложении, что распределение контролируемого признака подчиняется определенному теоретическому закону (нормальному, биноминальному, пуассоновскому и так далее) с параметрами, либо оцениваемыми по выборке, либо заранее известными. Применению этих методов должна предшествовать проверка по данным выборочных наблюдений гипотезы о законе распределения. Проверка гипотезы о законе распределения значения признака в генеральной совокупности осуществляется с помощью критериев согласия.

Чаще всего на практике имеют дело с нормальным распределением. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос дан А.М.Ляпуновым в центральной предельной теореме теории вероятности. Приведем следствие из нее: если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.

Функция плотности нормального закона распределения имеет вид , а интегральная функция распределения – .

У нормального распределения два параметра (количество параметров ): математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение . Их оцениваем по выборке: .

Кривая нормального распределения симметрична относительно прямой .

1) Для нормального закона средняя арифметическая , мода и медиана равны как характеристики центра распределения:

.

У нас: 9, 0548; 9, 115; 9, 097.

Как видно, значения этих величин практически не отличаются друг от друга.

2) У кривой нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю.

У нас: –0, 3; –0, 25.

Как видно, значение коэффициента асимметрии и значение коэффициента эксцесса отличаются от нуля. (Замечание: считается, что число , если 0, 1).

3) В случае нормального распределения справедливо следующее условие:

.

Проверим выполнение этого условия для нашего примера.

;

.

Условия выполняется.

4) На практике для выдвижения гипотезы о нормальном распределении используют правило 3-х сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения, т.е. все значения случайной величины должны попасть в интервал: :

Рисунок 5. – Правило 3-х сигм.

В нашем случае все значения величин попадают в интервал , равный , то есть в интервал (6, 3848; 11, 7248), так как 6, 75, 10, 97.

Таким образом, у нас есть основания предположить, что изучаемая случайная величина распределена по нормальному закону (нулевая гипотеза):

,

где – опытные частоты, – теоретические частоты, – длина интервала, – объём выборки, – среднее квадратическое отклонение, – табулированная функция, .