![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Методы полиномиальной аппроксимации
В методах прямого поиска мы не имели никакой информации о минимизируемой функции за исключением ее значений в выбранных нами точках и предположения, что она непрерывна и является унимодальной функцией на рассматриваемом отрезке. Если функцию в некоторой окрестности точки ее минимума можно достаточно точно заменить (аппроксимировать) многочленом, то для ее минимизации целесообразно использовать так называемые методы полиномиальной аппроксимации. Их общая особенность состоит в вычислении коэффициентов многочлена по известным значениям функции в отдельных точках и последующем нахождении минимума этого многочлена с использованием необходимых и достаточных условий экстремума. Ограничимся рассмотрением метода квадратичной аппроксимации минимизируемой функции f (x), в котором график этой функции приближенно заменяют параболой, проходящей через три известные точки [ х i, fi), i = 1, 2, 3, где fi= f (xi). Известно…, что через три различные точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну параболу у = ах 2 + b х + с, a ≠ 0. Коэффициенты а, b, с удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Определитель этой СЛАУ представляет собой определитель Вандермонда и отличен от нуля, когда х 1, х 2, х 3попарно различны. В этом случае СЛАУ имеет решение, и притом единственное. Его можно записать в виде Если найденные выражения для коэффициентов а и b подставить в необходимое условие у ' = 2 ах + b = 0 экстремума функции, то получим ее единственную стационарную точку где Если известен отрезок, на котором минимизируемая функция унимодальна, то нет необходимости вычислять значение коэффициента а. Достаточно этот отрезок принять в качестве отрезка [ x 1, x 3], а точку х 2∈ (x 1, x 3) выбрать произвольно в интервале (x 1, x 3). В этом случае имеем f 1≥ f 2и f 3≥ f 2, откуда На первом шаге метода квадратичной аппроксимации при помощи (2.18) вычисляют Далее из (2.18) находят Пример 2.5. Применим описанную модификацию метода квадратичной аппроксимации для нахождения минимума функции f (x) = (x – 1)2(x – 3)2 на отрезке [2, 8]. График этой функции приведен на рис. 2.12. Процесс итераций закончим, если длина интервала неопределенности не будет превышать 0.15. На первом шаге выберем После выполнения пятого шага приходим к заключению, что точка х *минимума функции f (x) расположена в интервале (2, 949, 3, 076) длины 0, 127. Точное значение х *= 3 соответствует минимальному значению f (x *) = 0.
Рис. 2.12 Таблица 2.6
|