Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Схема независимых испытаний Бернулли. Полиноминальное распределение
|
|
Предположим, что производятся независимо друг от друга n испытаний, в каждом из которых возможны только 2 исхода: успех и неудача («У»,»Н»). Причём вероятность успеха Р(У)= p, Р(Н)= q, p+q =1.
Определение 10.1. Последовательность 
испытаний называется испытаниями Бернулли, если эти испытания независимы, в каждом из них возможны 2 исхода, причём вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.
В n испытаниях Бернулли элементарным исходом является:
(ω 1, ω 2, …, ω n), где ω i 
{У, Н}, i {1, …, n }.
Всего таких исходов 2 n. Поскольку испытания независимы, то:
Р(ω 1, ω 2, …, ω n)= Р(ω 1)P(ω 2)…P(ω n).
Обозначим через Pn(k) вероятность того, что в n испытаниях Бернулли произошло ровно k успехов. Тогда
P n (k)=Р{(У, …, У, Н, …, Н), (У, …, У, Н, У, Н, …, Н), …, (Н, …, Н, У, …У)}=
= pkqn-k + pkqn-k + …+ pkqn-k = 
pkqn-k.
Таким образом получим
P n (k)= pkqn-k, k {0, …, n }, p+q =1 – формула Бернулли.
Пример 10.2. Двое равных по силам шахматистов играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть одну партию из двух или две из четырёх? Ничьи во внимание не принимаются.
p=q= 
, P2(1)= 
∙ ∙ = = 
;
P4(2)= 
∙ ()2 ∙ ()2=6∙ 
= 
;
Таким образом P2(1)> P4(2). 
Полиноминальное распределение
Предположим, что производится независимо друг от друга n испытаний, в каждом из которых возможны k исходов E1, E2, …, E k. Вероятность этих исходов обозначим P(E i)= pi, i {1, …, k }. Причём 
=1, k > 2.Вероятность того, что в n испытаниях исход E1 появится r1 раз, E2 
r2 раз, …, E1 – rk раз, где 
= n, находится по формуле:
P(r1, r2, …, rk)= 
… 
, =1, = n – формула полиноминального распределения.
Замечание 10.3. Формула полиноминального распределения обобщает формулу Бернулли на случай более 2 исходов в каждом испытании.
Пример 10.4. В урне 3 шара: белый, красный, синий. Из урны 5 раз наудачу извлекаются шары с возвращением. Найти вероятность того, что белый шар извлечён 3 раза, а красный и синий –по одному разу.
Поскольку p1 = p2 = p3= 
; r1 =3, r2 =1, r3 =1.
Тогда P5(3, 1, 1)= 
∙ ()3 ∙ ∙ = 20∙ 
= 
= 
.