Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Схема независимых испытаний Бернулли. Полиноминальное распределение






 

Предположим, что производятся независимо друг от друга n испытаний, в каждом из которых возможны только 2 исхода: успех и неудача («У»,»Н»). Причём вероятность успеха Р(У)= p, Р(Н)= q, p+q =1.

Определение 10.1. Последовательность испытаний называется испытаниями Бернулли, если эти испытания независимы, в каждом из них возможны 2 исхода, причём вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.

В n испытаниях Бернулли элементарным исходом является:

1, ω 2, …, ω n), где ω i {У, Н}, i {1, …, n }.

Всего таких исходов 2 n. Поскольку испытания независимы, то:

Р(ω 1, ω 2, …, ω n)= Р(ω 1)P(ω 2)…P(ω n).

Обозначим через Pn(k) вероятность того, что в n испытаниях Бернулли произошло ровно k успехов. Тогда

P n (k)=Р{(У, …, У, Н, …, Н), (У, …, У, Н, У, Н, …, Н), …, (Н, …, Н, У, …У)}=

= pkqn-k + pkqn-k + …+ pkqn-k = pkqn-k.

 

Таким образом получим

P n (k)= pkqn-k, k {0, …, n }, p+q =1 – формула Бернулли.

Пример 10.2. Двое равных по силам шахматистов играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть одну партию из двух или две из четырёх? Ничьи во внимание не принимаются.

p=q= , P2(1)= = = ;

P4(2)= ()2 ()2=6∙ = ;

Таким образом P2(1)> P4(2).

Полиноминальное распределение

Предположим, что производится независимо друг от друга n испытаний, в каждом из которых возможны k исходов E1, E2, …, E k. Вероятность этих исходов обозначим P(E i)= pi, i {1, …, k }. Причём =1, k > 2.Вероятность того, что в n испытаниях исход E1 появится r1 раз, E2 r2 раз, …, E1rk раз, где = n, находится по формуле:

P(r1, r2, …, rk)= , =1, = n – формула полиноминального распределения.

Замечание 10.3. Формула полиноминального распределения обобщает формулу Бернулли на случай более 2 исходов в каждом испытании.

Пример 10.4. В урне 3 шара: белый, красный, синий. Из урны 5 раз наудачу извлекаются шары с возвращением. Найти вероятность того, что белый шар извлечён 3 раза, а красный и синий –по одному разу.

Поскольку p1 = p2 = p3= ; r1 =3, r2 =1, r3 =1.

Тогда P5(3, 1, 1)= ()3 = 20∙ = = .


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.007 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал