Геометрические вероятности

I. Геометрическая вероятность на прямой.

Пусть на числовой оси имеется отрезок [a, b] и на него наудачу бросается точка. Вероятность того, что эта точка попадёт на [c, d] [a, b], вычисляется по формуле:

Р{ω [c, d]}= – геометрическая вероятность на прямой.

II. Геометрическая вероятность на плоскости.

Пусть на плоскости фигура g составляет часть фигуры G. Вероятность того, что наудачу брошенная в фигуру G точка попадёт в фигуру g G находится по формуле:

Р{ ω g }= – геометрическая вероятность на плоскости.

Здесь и – площади фигур g и G соответственно.

III. Геометрическая вероятность в пространстве.

Пусть в пространстве () имеется фигура d, составляющая часть фигуры D. Вероятность того, что наудачу брошенная в фигуру D точка попадёт в фигуру d, определяется по формуле:

Р {ω d }= - геометрическая вероятность в пространстве.

Здесь и – объёмы фигур d и D соответственно.

Замечание 6.1. Геометрические вероятности позволяют устранить недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом элементарных исходов.

Пример 6.2. (задача о встрече) Два студента условились встретиться в определённом месте между 12 и 1 ч дня. Пришедший первым ждёт второго ¼ часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если между 12 и 1 ч дня каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода.

Пусть x ­– момент прихода первого студента (необязательно, чтобы он пришёл первым), а y – момент прихода второго. Тогда Ω ={(x, y)| x, y [0, 1]}, А =={(x, y)| | x-y | }.

1) x y, x - y = , y = x - ;

2) x< y, y - x = , y = x + ;

P(A)= =1- =