Элементы теории множеств. Множества и операции над ними

Понятие множества является одним из основных математических понятий. Это неопределяемое понятие, его можно только описать или пояснить на примерах. Так, можно говорить о множестве букв в латинском алфавите, множество всех книг в данной библиотеке, множестве студентов в данной группе, множестве всех точек данной линии. Чтобы задать множество, достаточно перечислить элементы или указать характеристические свойства элементов, т.е. такое свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они.

Определение 1.1. Предметы (объекты), составляющие некоторое множество, называются его элементами.

Множество принято обозначать прописными латинскими буквами, а элементы множества – строчными буквами. То, что x является элементом множества A, записывается так: x A (x принадлежит A). Запись вида x A (x A) означает, что x не принадлежит A, т.е. не является элементом множества A.

Элементы множества принято записывать в фигурных скобках. Например, если A – множество, состоящее из первых трех букв латинского алфавита, то его записывают так: A= { a, b, c }.

Множество может содержать бесконечно много элементов (множество точек прямой, множество натуральных чисел), конечное число элементов (множество школьников в классе), либо вообще не содержать ни одного элемента (множество студентов пустой аудитории).

Определение 1.2. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством, обозначается Ø.

Определение 1.3. Множество A называется подмноже-ством множества B, если каждый элемент множества A принадлежит и множеству B. Это обозначается A B (A – подмножество B).

Пустое множество считают подмножеством любого множества. Если множество A не является подмножеством множества B, то пишут A B.

Определение 1.4. Два множества A и B называют равными, если являются подмножествами друг друга. Обозначают A = B. Это означает, что если x A, то x B и наоборот, т.е. если и , то .

Определение 1.5. Пересечение множеств A и B называют множество M, элементы которого являются одновременно элементами обоих множеств A и B. Обозначают M= A B. Т.е. x A B, то x A и x B.

Записывают A B= { x | x A и x B }. (Вместо союза и – ставятся знаки , &).

Определение 1.6. Если A B= Ø, то говорят, что множества A и B не пересекаются.

Аналогично можно определить пересечение 3-х, 4-х и любого конечного числа множеств.

Определение 1.7. Объединением множеств A и B называют множество M, элементы которого принадлежат хотя бы одному из данных множеств.Обозначают M=A B. Т.о. A B= { x | x A или x B }. (Вместо союза или – ставится знак ).

Аналогично определяется и множество A₁ A₂ … A_n. Оно состоит из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A₁, A₂, …, A_n (а может быть, и нескольким сразу).

Пример 1.8. 1) если A= {1; 2; 3; 4; 5} и B= {1; 3; 5; 7; 9}, то A B= {1; 3; 5} и A B= {1; 2; 3; 4; 5; 7; 9}.

2) если A= {2; 4} и B= {3; 7}, то A B= Ø и A B= {2; 3; 4; 7}.

3) если A= {летние месяцы} и B= {месяцы, в которых 30 дней}, то A B= {июнь} и A B= {апрель; июнь; июль; август; сентябрь; ноябрь}.

Определение 1.9. Натуральными называются числа 1, 2, 3, 4, …, используемые для счета предметов.

Множество натуральных чисел обозначается N, N={1; 2; 3; 4; …; n; …}. Оно является бесконечным, имеет наименьший элемент 1 и не имеет наибольшего элемента.

Пример 1.10. A – множество натуральных делителей числа 40. Перечислить элементы этого множества. Верно ли, что 5 A, 10 A, -8 A, 4 A, 0 A, 0 A.

A = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}. (В, В, Н, Н, Н, В)

Пример 1.11. Перечислите элементы множеств, заданных характеристическими свойствами:

а) А ={ x | (x -1)(2 x -1)(3+ x)=0}, получаем A = {1; ; -3}

б) B ={ x | -1, 1< x < 5 x N}, имеем B = {1; 2; 3; 4}.

Пример 1.12. Дано множество чисел K = {21; 54; 153; 171; 234}. Составить подмножество чисел из K, которые а) делятся на 7; б) делятся на 9; в) не делятся на 5; г) делятся на 4.

а) A = {21}, б) B = {54; 153; 171; 234}, в) C = K, г) D= Ø

Пример 1.13. Множество C состоит из 11 элементов, множество D – из 8. Сколько элементов содержит C D, если C D содержит 15 элементов?

Поскольку A+B –A B=A B, тогда 11+8–15=4

Определение 1.14. Разность множеств A и B называется множество M, элементы которого принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B.

Обозначают M=A \ B.

Таким образом, A \ B= { x | x A и x B }.

Пример 1.15. Если A = {1; 2; 3; 4; 5} и B = {1; 5}, то A\B= {2; 3; 4}.