Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Аксиомы теории вероятностей. Дискретные пространства элементарных исходов. Классическое определение вероятности
|
|
Пусть Ω пространство элементарных исходов, F – множество всех подмножеств Ω. Любому событию A 
F ставится в соответствие действительное число P(A), называемое вероятностью события A, при этом выполняются аксиомы теории вероятности:
Аксиома 4.1. Вероятность произвольного события неотрицательна, т.е. 
A F, P(A) 
0.
Аксиома 4.2. Вероятность достоверного события равна 1, т.е. P(Ω)=1.
Аксиома 4.3. (счетной аддитивности) Если A1, A2, … F и Ai∙ Aj= Ø (i 
j), то P(A1+ A2+…) = P(A1) + P(A2) +… или P(
) = 
.
Определение 4.4. Бесконечное множество называется счетным, если элементы этого множества можно занумеровать натуральными числами.
Все другие множества называются несчетными (например, множество точек [a, b] ненулевой длины).
Определение 4.5. Пространство элементарных исходов называется дискретным, если оно конечное или счетное, т.е. Ω ={ω 1, …, ω n} или Ω ={ω 1, ω 2, … }.
Любому элементарному исходу ω i ставится в соответствие число p(ω i), так что при этом 
=1.
Определение 4.6. Вероятностью события A называется число P(A)= 
.
Пример 4.7. Бросается игральная кость. Найти вероятность выпадения нечетного числа очков.
p(ω i)= 
, i =1,.., 6, 
P(A)= p(ω 1, ω 3, ω 5)= + + = 
= 
. 
Сформулируем следующие предположения:
1. Пространство элементарных исходов конечно: Ω ={ω 1, …, ω n}.
2. Все элементарные исходы равновероятны (равновозможны), т.е. p(ω 1)= p(ω 2)=…= p(ω n).
Поскольку 
=1, то p(ω i)= 
, i =1,.., n.
Рассмотрим некоторое событие A 
Ω, состоящее из k элементарных исходов, k 
n, A= { 
, 
, …, 
}.
Вероятность события P(A)= 
= 
= 
.
Определение 4.8. (классическое определение вероятности) Если пространство элементарных исходов конечно, а все элементарные исходы равновероятны, то вероятность события A называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих A, к общему числу всех возможных элементарных исходов P(A)= .
Пример 4.9. Бросается две монеты. Найти вероятность того, что хотя бы на одной выпадет герб.
Ω ={(г, г), (г, р), (р, г), (р, р)}, n= 4.
A= {(г, г), (г, р), (р, г)}, k =3.
Таким образом, P(A)= = 
.
Пример 4.10. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7?
Ω ={(i, j) | i, j {1,.., 6}}, n= 36,
A= { (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 5), (2, 5), (1, 6)}, k =6,
Таким образом, P(A)= = 
= .