Формулы полной вероятности и Байеса

Теорема 9.1. (формула полной вероятности) Если события H₁, H₂, …, H_n образуют полную группу, то вероятность появления события А, которое может произойти совместно с любым из событий H_i, i {1, …, n }, находится по формуле:

Р(А)=Р(H₁)P(A | H₁) + … + Р(H_n)P(A | H_n) или Р(А)= .

Поскольку события образуют полную группу, то Ω = H₁+H₂+…+H_n. Событие А происходит только с одним из событий H_i, i {1, …, n }, поэтому A ∙ Ω = А = А∙ H₁+ А∙ H₂+…+ А∙ H_n. По теореме сложения вероятностей Р(А)=Р(А∙ H₁)+…+Р(А∙ H_n)=Р(H₁)Р(А|H₁)+…+Р(H_n)Р(А | H₁)

Пример 9.2. Имеются две урны. В первой – 3 белых и 5 чёрных шаров, во второй – 4 белых и 3 чёрных. Из 1-й урны наудачу взят 1 шар и переложен во 2-ю урну. После этого из 2-й урны извлечён наудачу шар. Какова вероятность того, что он белый?

А – из 2-й урны извлечён белый шар,

H₁ – из 1-й урны во 2-ю переложен белый шар,

H₂ – из 1-й урны во 2-ю переложен чёрный шар, H₁ + H₂ =Ω.

Р(А)=Р(H₁)Р(А | H₁)+Р(H₂)Р(А| H₂)= ∙ + ∙ =

Замечание 9.3. При применении формулы полной вероятности события H₁, H₂, …, H_n, образующие полную группу, называются гипотезами.

Теорема 9.4. (формула Байеса) Пусть события H₁, H₂, …, H_n образуют полную группу, А – некоторое событие, которое может произойти совместно с любым из событий H_i, i {1, …, n }, тогда условная вероятность:

Р(H_j | А) = , j {1, 2, …, n }.

Р(H_j | А) = = = .

Пример 9.5. Рассмотрим предыдущий пример с учётом того, что из 2-й урны вынули белый шар. Найти вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю переложили белый шар.

Р(H₁ | А) = = = = .

Замечание 9.6. В формуле Байеса вероятности Р(H_i), i {1, …, n } называются априорными вероятностями гипотез. Вероятности Р(H_i|A), i {1, …, n } называются апостериорными вероятностями гипотез.