Случайные величины

Определение 12.1. Случайной величиной Хназывается функция Х(ω), отображающая пространство элементарных исходов Ω во множество действительных чисел . Т.о. Х(ω): Ω → .

Пример 12.2. Дважды подбрасывается монета. Рассмотрим случайную величину Х – число выпадений герба, определённую на пространстве элементарных исходов Ω ={(г, г), (г, p), (p, г), (p, p)}. Множество возможных значений случайной величины Х-{0, 1, 2}. Составим таблицу

Одной из важнейших характеристик случайной величины является её функция распределения.

Определение 12.3. Функцией распределения случайной величины Хназывается функция F(x)=F _X (x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случайная величина X примет в результате эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа х

F(x)=P{ X< x }=P{ X (-∞; x)}.

Замечание 12.4. Если рассматривать случайную величину Х как случайную точку на оси O x, то функция распределения F(x) с геометрической точки зрения – это вероятность того, что случайная точка Х в результате реализации эксперимента попадёт левее точки х.

Свойства функции распределения

Свойство 12.5. Функция распределения F(x) – неубывающая функция, т.е.для таких, что выполняется условие F(x) F(x).

Поскольку , то события { }={ }+{ }, по определению функции распределения F()=F()+P{ }.

Т.к. P{ } 0, то F()> F().

Свойство 12.6. Для таких, что справедливо равенство P{ }= F()–F().

Замечание 12.7. Если функция распределения F(x) – непрерывная, то свойство 12.6 выполняется и при замене знаков и < на < и .

Свойство 12.8. F(x)=0; F(x)=1.

F(-∞)=P{ X < -∞ }=P(Ø)=0, F(+ ∞)=P{ X < + ∞ }=P(Ω)=1.

Свойство 12.9. Функция распределения F(x) непрерывна слева ( F(x)=F()).

Свойство 12.10. P{ X x }=1-F(x).

{ X< +∞ }={ X< x }+{ X x }, по свойству вероятности P{ X< +∞ }=P{ X< x }+P{ X x };

P(Ω)=1= F(x)+ P{ X x }, откуда P{ X x }=1- F(x).