Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 4. Пусть функция f (x) непрерывна на [ a; b ] и F (x) – какая-либо ее первообразная на [ a; b ]. Тогда определенный интеграл от функции f (x) по отрезку [ a; b ] равен разности значений функции F(x) в точках b и a:

Доказательство. Из теоремы 3 следует, что наряду с функцией F(x) функция также является на [ a; b ] первообразной для f (x). Тогда по свойству первообразных для одной и той же функции на некоторой области имеем:

для любого x Î [ a; b ] (**)

Вычислим значение const. Для этого, используя свойство 1 определенного интеграла , рассмотрим равенство (**) при x = a:

Следовательно, равенство (**) можно переписать в виде:

для xÎ [ a; b ]

Теперь рассмотрим полученное равенство при x = b:

Это и есть формула Ньютона-Лейбница. Она является основной формулой интегрального исчисления, устанавливающей связь между определенным и неопределенным интегралами и дает правило вычисления определенного интеграла.

Замечание. Формулу Ньютона-Лейбница часто записывают в виде:

,

Где используется обозначение:

.