Скалярное поле. Градиент скалярного поля. Свойства градиента.

Если каждой точке заданной области пространства (чаще всего размерности 2 или 3) поставлено в соответствие некоторое (обычно —действительное) число , то говорят, что в этой области задано скалярное поле. Другими словами, скалярное поле — это функция, отображающая в (скалярная функция точки пространства).

Направление скорейшего возрастания поля указывает вектор градиента, обозначаемый стандартно

, или ,

с компонентами:

.

Абсолютная величина вектора градиента u есть производная u по направлению скорейшего роста (скорость роста u при движении с единичной скоростью в этом направлении).

Градиент всегда перпендикулярен поверхностям уровня (в двумерном случае — линиям уровня). Исключение — особые точки поля, в которых градиент равен нулю.