Числовые ряды с положительными членами. Теоремы сравнения.

Числовой ряд называется рядом с положительными членами, если при любом п.

Теорема 8. Любой ряд с положительными членами либо сходится, и его сумма есть положительное число, либо расходится и его сумма равна

Доказательство. Пусть дан ряд с положительными членами:

.

Запишем последовательность частичных сумм:

Очевидно, что .

Таким образом, последовательность частичных сумм является строго возрастающей, но тогда возможны два случая:

1) Последовательность частичных сумм ограничена сверху. По теореме Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности утверждаем, что имеет конечный предел, то есть ряд сходится.

2) Последовательность частичных сумм возрастает неограниченно, тогда , ряд расходится. Теорема доказана.

Признак Коши. Пусть для числового ряда (1) с положительными членами существует предел

σ =

Тогда при σ < 1 ряд сходится, а при σ > 1 ряд расходится.

Можно указать как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых σ = 1.

Теорема сравнения. Пусть даны два положительных ряда

(*) и (**)

Если, начиная с некоторого номера N, т.е. при n > N, выполняется неравенство ≤ , то из сходимости ряда (**) следует сходимость ряда (*), а из расходимости ряда (*) следует расходимость ряда (**).