Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости.

Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида .Суммой сходящегося числового ряда называется предел последовательности его частичных сумм, то есть, .

Свойства сходящихся числовых рядов.

Если сходится числовой ряд , то сходящимся будет и ряд . Другими словами, сходящимся будет и ряд без первых m членов. Если к сходящемуся числовому ряду добавить несколько членов (от первого до m-ого), то полученный ряд также будет сходящимся.

Если сходится числовой ряд и его сумма равна S, то сходящимся будет и ряд , причем , где A – произвольная постоянная.

Если сходятся числовые ряды и , их суммы равны A и B соответственно, то сходящимися будут ряды и , причем их суммы будут равны A + B и A - B соответственно.

Необходимый признак сходимости ряда

Теорема. Если ряд сходится, то un=0. Доказательство. Пусть ряд u1+u2+…+un… сходится, то есть существует конечный предел =S. Тогда имеет место также равенство =S, так как при n и (n-1) . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем - = = un=0, что и требовалось доказать. Следствие. Если un≠ 0, то ряд u1+u2+…+un… расходится.