Краткое теоретическое введение.

Пусть задан некоторый ряд слагаемых a₁(х)+a₂(х)+a₃(х)+...+a_n(x) и необходимо найти его сумму. Если слагаемые зависят от некоторого параметра Х и номера n, опреде­ляющего место этого слагаемого в ряде, то такой ряд называется функциональным.

Если слагаемые зависят только от номера, то такой ряд называется число­вым. Обычно функциональные и числовые ряды зада­ются в виде формулы общего члена ряда, которые по методам вычисления можно разбить на три типа:

Таблица1.

I
II
III

где m, n, k - целые числа;

a, b, c, d - действительные числа;

(обозначение a_n - a с индексом n).

1. Для вычисления члена ряда типа 1 наиболее удобно исполь­зовать рекур­рентные соотношения, т.е. последующий член ряда находить через предыдущий, что существенно сократит объем вычислительной работы, особенно при вы­числении факто­риалов.

Вычисление последующего члена ряда можно представить в виде рекуррентной формулы: А[n+1]=A[n]*G(n, x), где G(n, x)=a_n+1/a_n.

При использовании рекуррентных формул необхо­димо определить начальное значение n, c которого выполняются рекуррентные соотно­шения, а, сле­довательно, этим определяются начальные значения (выражения для а и S).

2. Ecли формула общего члена ряда принадлежит типу II, то це­лесообразнее и эффективнее вычислять каждый член ряда по общей формуле. В за­дачах данного типа необходимо обратить внимание на определение начального значения n и началь­ное значение суммы.

3. Если формула общего члена ряда принадлежит типу III, то целесообразно вычисление текущего члена ряда представить как произведение двух или более со­множителей.

При вычислении ряда данного вида важным моментом является выбор начального значения С, a1, n, S.

Из приведенных примеров видно, что алгоритм вычисления суммы членов неко­торого функционального ряда относится к сложной циклической струк­туре с вложен­ным циклом. Внутренний цикл вычисляет сумму ряда при фиксирован­ном параметре х, а внешний - организует изменение параметра х.

Задание на работу.

1. По указанию преподавателя или в соответствии с вариантом из Таблицы 1 заданий (см. Приложение) взять условие – функциональный ряд и диапазон изменения Х.

2. Определить, к какому типу относится функциональный ряд.

3. Принять шаг изменения Х таким образом, чтобы необходимо было вычислить 8-20 значений сумм.

4. Составить блок-схему алгоритма и программу вычисления суммы членов функционального ряда и проверочной функции:

- для четных вариантов запросить точность вычисления суммы (число в диапазоне 0.00001 ¸ 0.0000001). Для каждого значения суммы выдавать количество членов, участвовавших в её вычислении;

- для нечетных вариантов запросить количество членов, необходимых для определения суммы ряда (число в диапазоне 10¸ 50. Для каждого значения суммы выдавать точность вычисления суммы ряда);

- для всех вариантов: вычислить для каждого значения Х кубический корень из произведения первых 6 членов суммы ряда.

5. Реализовать программу на ПЭВМ.

Содержание отчета: титульный лист, тема и цель работы, № варианта задания и собственно задание, описание типов функциональных рядов по методам вычислений, определение типа заданного ряда, математическая постановка задачи и определение области допустимых значений (ОДЗ), блок-схема алгоритма, текст программы и результаты её работы. Работу программы студент обязан показать на ПЭВМ.

Контрольные вопросы

1. Что такое функциональный ряд?

2. Дайте определение интервала сходимости функционального ряда.

3. Классификация функциональных рядов или числовых рядов в зависимости от метода вычисления суммы ряда.

4. Какие функции выполняют внутренний и внешний циклы при вычислении суммы ряда?

5. Значения каких переменных необходимо восстановить после присваивания Х очередного значения?

6. Объяснить, почему выбраны используемые в программе типы циклов?

7. Замените один тип цикла на другой (по указанию преподавателя).