Краткое теоретическое введение. Алгоритм уточнения корня методом половинного деления

Алгоритм уточнения корня методом половинного деления

Сущность метода. Пусть каким-либо методом найден отрезок изоляции корня [а; b] уравнения F(х) = 0, где F(х) - непрерывна на участке [a; b], (а)*F(b) < 0. В дальнейшем требуется сузить этот отрезок так, чтобы его длина стала не больше заранее заданной точности вычисления корня e, то есть чтобы |b - a| £ e.

Этот процесс сужения интервала, содержащего изолированный корень уравнения F(х) = 0, называется уточнением корня.

В этом алгоритме отрезок изоляции корня [а; b] точкой с = делят пополам и вычисляют значение F(c). Если F(c) = 0, то с - значение искомого корня уравнения, и задача решена. Если F(c) ¹ 0, то искомый корень уравнения содержится в одном из двух отрезков [a; c] или [c; b], на концах которого функция F принимает значения разных знаков. Обозначим этот отрезок через [a₁, b₁], его длина b₁-a₁ = . С отрезком [a₁, b₁] поступают точно так, как и с отрезком [a, b]. Этот процесс последовательного деления отрезка пополам продолжают до тех пор, пока не произойдет одно из двух:

§ либо найдется такая точка c_n = , в которой F(c_n) = 0 (что маловероятно!), и задача решена;

§ либо такой точки не найдется, но при некотором n придем к отрезку [a_n, b_n] длины b_n - a_n = £ e, содержащему в себе искомый корень.

Тогда числа a_n и b_n являются приближенными значениями искомого корня с требуемой точностью e соответственно с недостатком и с избытком. Однако лучше за приближенное значение искомого корня взять число с_n = , погрешность которого не превышает .

Алгоритм уточнения корня методом хорд

Сущность метода. Пусть отрезок изоляции [a; b] корня х уравнения F(х) = 0 найден, причем для определенности пусть F(a) < 0, F(b) > 0 и F'(х) > 0. График функции y = F(х) проходит через точки A(a; F(a)) и B(b; F(b)) (рис. 1). Составим уравнение хорды АВ как прямой, проходящей через точки А и В:

y = kx + l;

F(a) = ka + l;

F(b) = kb + l;

k = ; l = F(a) - a

y=

y - F(a) = (x - a).

Рис. 1 – Графическое представление метода хорд

далее находим абсциссу x₁ точки пересечения хорды АВ с осью Ох, уравнение которой y = 0:

= x₁ - a Þ x₁ = a - .

Число x₁ примем за первое приближение корня х*. Далее, применяя этот же прием к отрезку изоляции [x₁; b], на концах которого функция F(x) принимает противоположные знаки, получим второе приближение корня x₂:

x₂ = x₁ -

Этот процесс можно продолжать неограниченно. Описанный процесс называется методом хорд. В результате получим последовательность вложенных отрезков[a; b] É [x₁; b] É [x₂; b] É... É [x_n; b] É ... с неподвижным концом b. Последовательные приближения x_n (n = 1, 2,...) к точному значению корня х* вычисляются по формуле

(1)

называемой формулой метода хорд, и образуют монотонно возрастающую последовательность a = x₀ < x₁ < x₂ <... < x_n < x_n+1 <... < b, ограниченную сверху числом b. По теореме Вейерштрасса эта последовательность имеет предел

x_n = *.

Поскольку F(х) непрерывна на [а; b], то F(x_n) = F( ^*).

Переходя теперь к пределу в равенстве (1), получаем

^* = ^* -

откуда, так как b - , следует, что F() = 0. Но в связи с тем, что уравнение F(x) = 0 на отрезке [а; b]имеет единственный корень х *, то х * = х *.

Поскольку полученная последовательность (х„) сходится к корню уравнения х *, то любой ее член можно рассматривать в качестве приближенного значения корня. Практически последовательные приближения вычисляют до тех пор, пока не получат приближенное значение корня с требуемой точностью.

Алгоритм уточнения корня методом касательных

Сущность метода. Пусть [а; b] — отрезок изоляции корня х * уравнения F(х) = 0. И пусть для определенности F(a)< 0, F(b)> 0, F‘(x) > 0 и F ” (x) > 0, xÎ [а; b], то есть производные сохраняют постоянный знак (рис.2). Идея метода касательных, предложенного Ньютоном, сводится к замене небольшой дуги кривой у = F(х) касательной к кривой, проведенной в некоторой точке интервала [а; b]. Выберем, например, x₀ = b, так как F(x₀) ´ F¢ ¢ (x₀)> 0, и в точке В(x₀, F(х₀)) проведем касательную к кривой у = F(х). Ее уравнение: y - F(x₀) = F¢ (x₀)(x - x₀). '

Найдем теперь точку пересечения x1 касательной с осью Ох (у = 0):

0 - F(x₀) = F¢ (x₀)(x₁ - x₀) Þ x₁ = x₀ -

Рис. 2 – Графическое представление метода касательных

Эту точку x₁ принимаем за первое приближение искомого корня х *. Через точку С(x₁; F(x₁)) снова проведем касательную y - F(x₁) = F‘(x₁)(x - x₁), абсциссу точки пересечения которой с осью Ох примем за второе приближение х₂ корня х *.

Имеем: 0 - F(x₁) = F‘(x₁)(x₂ - x₁) Þ x₂ = x₁ -

Продолжая этот процесс далее, получим рекуррентную формулу,

называемую формулой метода касательных.

Заметим, что если в рассматриваемом случае (F’(x) > О, F”(x) > О, F(b) > 0, F(а) < 0) касательную провести в точке А, то есть положить x₀ = а, то точка пересечения ее с осью абсцисс может оказаться вне отрезка изоляции корня [a; b]. Это значит, что метод касательных неприменим, если в качестве начальной точки x₀ выбрать такую, в которой F(x₀) ´ F”(x₀) < 0.

Как и в методе хорд, можно доказать (предлагаем читателю сделать это самостоятельно), что полученная числовая последовательность

x₀> x₁> x₂>...> x_n> x_n+1>...> a

сходится к корню уравнения х *.

Для оценки погрешности приближения x_n можно воспользоваться, как и в методе хорд, формулой

½ x* - x_n½ £ ½ x_n - x_n-1½ £ e.

Анализируя возможные расположения кривой у = F(х)на отрезке изоляции, где последовательные приближения по методу касательных обозначены (i = 0, 1, 2...), получаем правило для использования метода касательных: в качестве начального приближения x₀ выбирается тот конец отрезка изоляции (x₀ = а или x₀ = b), в котором выполняется условие

F(x₀) F¢ ¢ (x₀) > 0

Метод последовательных приближений (итераций)

Сущность метода. Для нахождения действительных корней уравнения F(x) = 0, где F(x) - непрерывная функция на [a; b], его заменяют равносильным уравнением

х = j(х) (2)

Это можно сделать всегда, притом не одним способом. Например, уравнение х3 - 9х + 3 = 0 можно представить так:

Пусть известен отрезок изоляции корня [a; b], тогда за начальное приближение искомого корня уравнения (2) берут: Подставляя значение х₀ в правую часть уравнения (2), получают первое приближение х₁ = j(х₀). В качестве второго приближения берут х₂ = j(х₁). Продолжая этот процесс дальше, получают числовую последовательность (х_n), определенную с помощью рекуррентной формулы:

x_n+1 = j(x_n), (n = 0, 1, 2,...) (3)

Полученная последовательность х₀, х₁,..., x_n, x_n+1,... называется итерационной последовательностью, способ построения ее называется методом последовательных приближений или методом итераций численного решения уравнения.

При пользовании методом итераций необходимо выяснить основной вопрос: сходится ли полученная последовательность (х_n) к решению х^* уравнения (2) при возрастании n? Если последовательность (х_n) сходится, то есть существует предел х^* = то, переходя к пределу в равенстве (3) и, предполагая, что функция j(х) непрерывна, получаем:

или x^* = j(x^*).

Следовательно, в этом случае х = х^* является корнем уравнения х = j(х), а значит, и уравнения F(x) = 0.

Если же последовательность (х_n) окажется расходящейся, то есть не существует конечного предела построенной последовательности приближений (х_n), то это означает, что процесс итераций построен неудачно, и его надо заменить другим.

Следовательно, метод последовательных приближений применим при выполнении условия: ½ j‘(x)½ £ M1 < 1

для всех х, принадлежащих отрезку изоляции корня уравнения (2), В этом случае процесс итераций сходится, и тем быстрее, чем меньше М₁; если же ½ j‘(x)½ > 1, то итерационный процесс расходится. Для конкретной оценки величины m₁, определяющей скорость сходимости, проще всего пользоваться формулой: М₁ = max½ j‘(x)½, где max берется по отрезкуизоляции корня [а: b].

Задание на работу

В соответствии с вариантом задания (см. Приложение), полученным у преподавателя (вид функции в виде f(x)=0), необходимо:

1. Изучить численные основные методы определения корней уравнений (половинного деления, касательных, хорд, хорд и касательных).

2. Получить интервал локализации корня уравнения, используя:

а) аналитический метод;

б) метод табуляции.

3. Составить блок-схему и программу, которая позволит:

а) уточнить корень методом половинного деления (для всех номеров);

б) уточнить корень методом касательных (для нечетных номеров);

в) уточнить корень методом хорд (для четных номеров);

г) уточнить корень методом итераций.

После определения корней необходимо подставить значение корня для проверки правильности решения.

Результаты вывести в виде, удобном для восприятия.

Содержание отчета: титульный лист, тема и цель работы, № варианта задания и собственно задание, описание типов функциональных рядов по методам вычислений, определение типа заданного ряда, математическая постановка задачи и определение области допустимых значений (ОДЗ), блок-схема алгоритма, текст программы и результаты её работы. Работу программы студент обязан показать на ПЭВМ.

Контрольные вопросы.

1. Обоснуйте необходимость приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

2. Аналитический метод отделения корней уравнения.

3. Отделения корней уравнения методом перебора.

4. Метод половинного деления: преимущества и недостатки.

5. Метод Ньютона (касательных). Выбор начального приближения для выполнения условия сходимости процесса.

6. Использование метода хорд для уточнения корней уравнения.

7. Смысл метода итераций. Преимущества и недостатки по отношению к другим методам.