Пример выполнения работы № 2

1. а) Вычислить .

Вводим условие задачи и вычисляем предел

> Limit((2*x^3+x^2-1)/(4*x^3+5), x=infinity)=limit((2*x^3+x^2-1)/(4*x^3 +5), x=infinity);

В случае правильного ввода, на экране появляется отклик:

.

б) Вычислить .

Вводим условие задачи и вычисляем предел

> Limit((x*arctan(x))/(1-cos(8*x)), x=0)=limit((x*arctan(x))/(1-cos(8*x)), x=0);

На экране появляется

.

2. a) Найти производную функции .

Вводим условие задачи и находим производную функции

> Diff((x^3+1)*log(x), x)=diff((x^3+1)*log(x), x);

= .

б) Найти вторую производную функции .

Вводим условие задачи и находим вторую производную функции

> Diff(exp(5*x^2-4), x$2)=diff(exp(5*x^2-4), x$2);

= .

3. a) Найти .

> Int(1/(7*x-8), x)= int(1/(7*x-8), x);

= .

б) Вычислить .

> Int(1/(7*x-8), x=2..5)= int(1/(7*x-8), x=2..5);

=

4) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Сделаем чертеж:

Вводим графики функций

> m: =plot([-x, x^2], x=1..2, color=[red, red]):

Вводим вертикальные отрезки прямых , которые служат границами области

> with(plots):

> k: =implicitplot(x=1, x=1..2, y=-1..1, color=red):

> k1: =implicitplot(x=2, x=1..2, y=-2..4, color=red):

Выводим на экран построенные графики

> display([m, k, k1]);

Найдем площадь фигуры: .

> S: =int(x^2+x, x=1..2);

S: =23/6

5) Найти объем тел вращения вокруг оси и фигуры, ограниченной линиями .

Выполним чертеж фигуры

> plot([x, sqrt(x)], x=0..1, color=red);

Вычислим объем тела вращения вокруг оси по формуле

> Vx: =Pi*int(x-x^2, x=0..1);

Вычислим объем тела вращения вокруг оси по формуле

> Vy: =2*Pi*int(x*(sqrt(x)-x), x=0..1);

Контрольные вопросы

1. Дайте определение функции.

2. Сформулируйте определение предела функции в точке и на бесконечности.

3. Какие функции называются бесконечно малыми и бесконечно большими?

4. Сформулируйте теорему о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций.

5. Сформулируйте основные теоремы о пределах.

6. Какая функция называется непрерывной в точке?

7. Запишите 1-ый, 2-ой замечательные пределы и следствия из них.

8. Сформулируйте определение производной. Какой геометрический смысл производной?

9. Сформулируйте общие правила дифференцирования функции и напишите формулы дифференцирования основных элементарных функций.

10. Что называется дифференциалом функции в точке?

11. Что называется производной функции второго порядка?

12. Сформулируйте определение первообразной функции. Что называется неопределенным интегралом?

13. Каковы основные свойства неопределенного интеграла?

14. Каковы основные методы интегрирования функции?

15. Сформулируйте понятие определенного интеграла на отрезке. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

16. Каковы основные свойства определенного интеграла и его геометрический смысл?

17. Каковы основные приложения определенного интеграла?