Пример выполнения работы № 4

1. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения

Введем дифференциальное уравнение

> de: = x*diff(y(x), x)=sqrt(x^2+(y(x))^2)+y(x);

Находим общий интеграл дифференциального уравнения

> dsolve(de, y(x));

2. Найти решение задачи Коши и построить график интегральной кривой

Введем дифференциальное уравнение

> de: =diff(y(x), x)-y(x)/x-x^2;

Записываем начальное условие и решаем задачу Коши.

> ic: =y(1)=0; dsolve({de, ic}, y(x));

Строим найденную интегральную кривую

> plot((1/2*x^2-1/2)*x, x=-5..5, y=-5..5);

3. Найти общее решение дифференциального уравнения

Введем дифференциальное уравнение

> de: =(D@@3)(y)(x)-4*(D@@2)(y)(x)+5*D(y)(x)-2*y(x)-(16-12*x)*exp(-x);

Находим общее решение и упростим полученное выражение

> simplify(dsolve(de, y(x)));

.

Контрольные вопросы

1. Что называется дифференциальным уравнением? Что называется порядком дифференциального уравнения?

2. Что называется частным, общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка? Что называется частным, общим интегралом дифференциального уравнения 1-го порядка?

3. Как формулируется задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка?

4. Какие типы дифференциальных уравнений 1-го порядка Вы знаете?

5. Как решаются дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными?

6. Что называется линейным уравнением 1-го порядка? Какие методы их решения Вы знаете?

7. Как решаются однородные уравнения 1-го порядка?

8. Что называется частным, общим решением дифференциального уравнения n-го порядка? Что называется частным, общим интегралом дифференциального уравнения n-го порядка?

9. Как ставится задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка?

10. Какие виды уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка, Вы знаете?

11. Сформулируйте понятие линейного уравнения n-го порядка.

12. Как выписывается определитель Вронского? Сформулируйте признак линейной независимости системы решений линейного однородного уравнения n-го порядка.

13. Что называется фундаментальной системой решений линейного однородного уравнения n-го порядка?

14. Структура общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка.

15. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка.

16. Что такое характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами?

17. Как находится общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами?

18. Сформулируйте методы нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами?