Просторова система сил

Розв’язання. Розподілене навантаження замінимо зосередженою силою , яку прикладемо у точці балки на відстані (бо центр ваги трикутника , по якому розподілена сила , знаходиться на відстані

а)

б)

Рис. 3.19

від вершини прямого кута ). Величина сили визначається площею фігури, по якій вона розподілена (D DEN). Отже,

Аналізуємо сили: активні сили і прикладені до балки та коловорота відповідно; реакції опор (циліндричних підшипників і ) прикладені до коловорота. Отже, доцільно розглянути рівновагу системи тіл: коловорот і балка, до якої прикладена просторова система сил . Реакції підшипників (рис. 3.19, б) і подамо у вигляді двох складових, перпендикулярних до осі обертання :

.

Маємо 5 невідомих сил: 4 реакції в’язей та сила . Для просторової системи сил можна записати 6 рівнянь рівноваги, тобто задача є статично визначеною.

Шуканою силою є сила , тому доцільно записати лише те рівняння рівноваги, в яке увійдуть відома сила і невідома сила . Так як лінії дії реакцій підшипників і перетинають вісь , то момент цих сил відносно цієї осі дорівнює нулеві. Отже, в рівняння моментів сил відносно осі ввійдуть лише сили і .

Знайдемо момент сили відносно осі . Для цього спочатку знайдемо момент сили відносно якої-небудь точки на осі. Доцільно за таку точку вибрати точку . Далі знаходимо вектор , який спрямований в бік, звідки обертання тіла, яке намагається здійснити сила , видно проти ходу годинникової стрілки, тобто на читача (протилежно напрямку осі ) (рис. 3.20). (Доцільним є також використання “правила гвинта”). Тоді

Далі знайдемо момент сили відносно цієї ж осі. Так як вектор сили за умовою задачі лежить в площині , то сила і вісь взаємно перпендикулярні і вектор моменту цієї сили доцільно знаходити відносно точки . Вектор спрямований в бік, звідки обертання тіла, яке намагається здійснити сила , видно за ходомходом годинниковоїюї стрілкииою, тобто вздовж осі (рис. 3.21).

Рис.3.20 Тоді

Рис. 3.20

Рис. 3.21

Рівняння рівноваги системи сил і відносно осі запишеться так:

Звідси знаходимо

Приклад 3.12. Однорідна трикутна пластина вагою , яка може

обертатися навколо осі , утримується в рівновазі ниткою , кут між

якою та площиною пластини дорівнює . Нитка, яка прикріплена до пластини в точці пластини в точці D (AD = DO), перекинута через блок і перекинута через блок іутримує вантаж

вагою . Визначити реакції сферичного

шарніра О та петліцилін-дричної петлі , якщо ОА = 5 см; ОВ = 3 см; АВ = 4 см (рис. 3.22, а).

Розв’язання. Оскільки за умовою задачі пластина однорідна, силу прикладемо в

центрі ваги пластини (рис. 3.22, б). Переріжемо нитку в точці та введемо натяг нитки . Щоб виключити з розгляду реакцію блока , переріжемо нитку, яка

утримує вантаж, у точці та введемо натяг нитки . Зауважимо, що

вектор натягу нитки слід напрямляти від тіла, рівновага якого розглядається. У даному випадку таким тілом є

пластина – саме до неї прикладені шукані реакції опор: реакція сферичного шарніра О та циліндричної петлі B. Реакція сферичного шарніра О дорівнює:

,

а циліндричної петлі B:

.

Пояснимо відсутність складової Річ у тім, що петля також обмежує рух пластини в напрямі осі , тобто реакція може мати місце. Але методами теоретичної механіки розділити реакції та не можна (в усі рівняння рівноваги входить їх сума). Тому в задачах у таких випадках зображується тільки одна з них (звичайно — це реакція в сферичному шарнірі). Саме це й зроблено.

Таким чином, невідомими є 6 складових реакцій в’язей: . Задача статично визначена.

Для полегшення запису рівнянь рівноваги розкладемо силу , що лежить у площині прямокутного трикутника , на складові:

а)
б)

Рис. 3.22

;

Далі записуємо рівняння рівноваги.

Перші три рівняння – це проекції головного вектора сил на координатні осі:

(3.1)

(3.2)

(3.3)

де

Записуючи рівняння моментів, врахуємо що в них будуть відсутні сили ,. Тбо їхні лінії дії проходять через початок системи координат – точку і, таким чином, перетинають всі три осі. Отже, не створюють моментів відносно жодної з осей.

Записуючи проекції моментів на вісьрівняння моментів відносно осі , відкидаємо додатково сили, лінії дії яких паралельні осі , або її перетинають – це сили . А для решти сил записуємо:

. (3.4)

При визначенні моментів відносно осі відкидаємо силу (паралельну осі ) та сили (перетинають вісь ). Для решти сил і маємо:

. (3.5)

Аналогічно для осі відкидаємо сили (паралельні осі ), (перетинає вісь ). Для решти сил маємо:

3.6)

Розв’язуємо отриману систему рівнянь. Із рівняння (3.6) знаходимо

.

З рівняння (3.5) знаходимо:

H.

З рівняння (3.2) знаходимо

.

З рівняння (3.1) знаходимо

.

З рівняння (3.4) знаходимо

.

З рівняння (3.3) знаходимо

.

Приклад 3.13. На квадратну пластину вагою діють сили і , паралельні осі . Пластина утримується в рівновазі шістьма п’ятьма стрижнями. Визначити зусилля в стрижнях (рРис. 3.23, а).

Розв’язання. Будемо розглядати рівновагу пластини. Прикладемо до неї силу ваги у центрі пластини. Стрижні, які підтримують пластину, відкинемо і замінимо реакціями, спрямованими вздовж них і прикладеними до пластини. Сили і , що лежать у площинах, паралельних , розкладемо на складові, паралельні осям і :

де ;

де .

а)

б)

Рис. 3.23

Відповідно

.

Запишемо шість рівнянь рівноваги для просторової задачі.

;

(3.7)

Проекція головного вектора на вісь дорівнює нулеві, так як лінії дії всіх сил лежать у площинах, паралельних .

У рівнянні моментів відносно осі сили , лінії дії яких перетинають її, і силу , лінія дії якої паралельна осі , відкидаємо. Для решти сил маємо

(3.8)

У рівнянні моментів відносно осі відсутні сили , бо їхні лінії дії перетинають цю вісь. Маємо:

. (3.9)

У рівнянні моментів відносно осі сили , лінії дії яких перетинають її, і сили , лінії дії яких паралельні осі , відкидаємо. Для сили маємо

. (3.10)

Розв’язавши систему рівнянь (3.7¸ 3.10), отримаємо: маємо:

; .

Тобто,

; ; ;

; .