Зведення систем силдо найпростішого виду

Зведення просторової системи сил, прикладених до твердого тіла, до найпростішого виду полягає у знаходженні однієї сили і однієї пари сил, які є статично еквівалентними цій системі. Шукана сила дорівнює головному вектору просторової системи сил, прикладеному в довільно вибраному центрі зведення . Пара сил має момент , який дорівнює головному моменту системи сил відносно цього ж центра зведення .

Головний вектор не залежить від вибору центра зведення і є першим статичним інваріантом

Головний момент залежить від вибору центра зведення , але його проекція на напрям головного вектора , тобто , не залежить від вибору

центра зведення і її називають другим статичним інваріантом даної системи сил ().

У випадку зведення просторової системи сил до найпростішого виду можуть зустрітися окремі випадки (див. табл. 6.1).

У таблиці позначено: , де – новий центр зведення, положення якого визначають довжиною відрізка

Він перпендикулярний до площини, в якій розміщені головний вектор і головний момент (рис. 6.1).

Таблиця 6.1

Перший статичний інваріант (головний вектор)	Головний момент	Другий статичний інваріант	Випадок зведення системи сил
			Система сил еквівалентна нулеві (є зрівноваженою)
			Пара сил
			Рівнодійна, яка прикладена в точці зведення
			Рівнодійна, яка зміщена від центра зведення
			Динама (силовий гвинт) з силою і парою сил з моментом або дві мимобіжні сили

Рис. 6.1

Динама – це сукупність сили і пари сил , момент якої спрямований вздовж лінії дії цієї сили (рис. 6.2).

Пряму, що проходить через точку , уздовж якої спрямовані вектори і , називають центральною гвинтовою віссю.

Рис. 6.2

Приклад 6.1. До якого випадку зводиться система сил, якщо її головний вектор (Н), а головний момент відносно початку координат ?

Розв’язання. Так як за умовою задачі відомі проекції на осі головного вектора

і головного моменту

,

визначимо величини головного вектора і головного моменту даної системи сил:

;

.

Так як головний вектор і головний момент відмінні від нуля, то необхідно визначити другий статичний інваріант:

.

Отже, дана система сил зводиться до динами (силового гвинта) з головним вектором і головним моментом

спрямованими вздовж центральної гвинтової осі, яка пара-
лельна лінії дії головного вектора і проходить через точку . Положення цієї точки визначають довжиною відрізка

.

Оскільки , то

.

Тоді

Запишемо рівняння центральної гвинтової осі. Так як

і паралельні, то
де .

Тоді в скалярно-аналітичній формі

,

тобто

.

Після підстановки проекцій векторів головного вектора і головного моменту знайдемо

Отже, центральна гвинтова вісь – пряма, яку отримаємо внаслідок перетину площин і (рис. 6.3).

Рис. 6.3

Приклад 6.2. До невагомої пластини прикладено сили , і , паралельні осі причому Визначити відстань , при якій система сил зводиться до рівнодійної сили, прикладеної у точці , якщо відстань (рис. 6.4).

Розв’язання. Щоб система сил звелась до рівнодійної, прикладеної у точці , необхідно, щоб головний момент та другий статичний інваріант дорівнювали нулеві, а головний вектор .

Визначимо проекції головного вектора і головного моменту на осі:

Рис. 6.4

.

Тоді головний вектор

головний момент

,

а другий статичний інваріант

Отже, система сил зводиться до рівнодійної (обведена на рис.6.4), якщо а = .

Приклад 6.3. Визначити модуль сили , коли система сил , що прикладена до куба, зводиться до пари сил, якщо відомо: (рис. 6.5).

Рис. 6.5

Розв’язання. Для того, щоб система сил звелась до пари сил, необхідно, щоб головний вектор дорівнював нулеві, а головний момент не дорвнював нулеві. За цих умов знаходимо

,

Тоді

Тобто, головний момент .

Отже, якщо сила Н, то систему сил можна звести до пари сил.

Приклад 6.4. На якій відстані від точки розміщена рівнодійна, якщо головний вектор системи сил і головний момент 26 Нм взаємно перпендикулярні? (рис. 6.6).

Рис. 6.6

Розв’язання. Дана система сил зводиться до рівнодійної, бо , , а другий статичний інваріант

При цьому центральна гвинтова вісь паралельна головному вектору і знаходиться на відстані

.

Ця вісь зміщена вправо, тому що головний вектор повинен повертатись відносно старого центра зведення (точки ) проти ходу годинникової стрілки, бо спрямований на нас.

Приклад 6.5. Головний вектор іголовний момент системи сил розміщені у площині . Визначити відстань до центральної гвинтової осі, якщо відомі і кут між і віссю дорівнює (рис. 6.7).

Розв’язання. Відрізок перпендикулярний до головного вектора і головного моменту , які розміщені у площині . Отже, відрізок лежить на осі і зміщений вправо.

Момент зведеної пари сил

,

а відстань .

Центральна гвинтова лінія паралельна головному вектору тобто осі , і проходить через точку (рис. 6.7).

Рис. 6.7