Приклади розв’язання задач з визначенням центра ваги

Приклад 7.1. Знайти координати центра ваги плоскої фігури, що зображена на рис. 7.29. Розміри наведено в см.

Рис. 7.29

Розв’язання. Для розв’язання використаємо метод розбиття в поєднанні з методом від’ємних площ. Виділимо в даній фігурі п’ять простих фігур (рис. 7.29):

7.1.1. Прямокутник OABN:

см²;

см; см.

7.1.2. Круговий сектор ONP ( см, ):

см².

Беремо знак мінус, оскільки сектор є вирізаним.

Відрізок дорівнює

см.

см;

см.

7.1.3. Прямокутник .

см²;

см;

см.

7.1.4. Прямокутник .

см²;

см;

см.

7.1.5. Трикутник .

см².

Беремо знак мінус, оскільки трикутник є вирізаний.

см;

см.

7.1.6. Координати центра ваги заданої плоскої фігури знаходимо за формулами (7.18)

см;

см.

Відповідь: см; см.

Приклад 7.2. На рис. 7.30 показано розріз тіла, який складається із циліндра, радіус якого і висота , і двох півкуль радіусами , центри яких співпадають з центрами нижньої і верхньої основ циліндра. Визначити центр ваги цього тіла, якщо

.

Розв’язання. Так як вісь є для даного тіла віссю симетрії, то шуканий центр ваги С цього тіла лежить на осі . Тому достатньо вирахувати тільки одну координату . Позначимо об’єми півкуль і циліндра відповідно , а їх центри ваг (рис. 7.30). Початок координат помістимо в точку — центр ваги циліндра. Знайдемо об’єми і координати центрів ваг півкуль і циліндра.

7.2.1. Перша півкуля.

;

Рис. 7.30

.

Примітка. Відстань від центра ваги півкулі радіусом до її основи дорівнює (див. рис. 7.15).

7.2.2. Друга півкуля.

;

.

7.2.3. Циліндр.

.

7.2.4. Шукану координату центра ваги даного тіла знаходимо по четвертій формулі із (7.16)

Відповідь: .

Приклад 7.3. Знайти координати центра ваги конструкції, яка складається із однорідних стрижнів (рис. 7.31), якщо ОА = 0, 6 м, АВ = 0, 6 м, ВН = 0, 3 м, ОD = 0, 9 м, DК = 0, 4 м.

Рис. 7.31

Розв’язання. Для розв’язання використаємо метод розбиття конструкції на окремі частини ОА, АВ, ВН, ОD, DК, центри ваги яких визначаємо, використовуючи метод симетрії.

7.3.1. Координати центрів ваг цих частин такі:

.

7.3.2. Довжини окремих частин конструкції дорівнюють:

м; м; м; м; м.

7.3.3. Центр ваги конструкції, складеної із однорідних стрижнів, знаходимо за формулами (7.14)

м;

м;

м.

Відповідь: м; м; м.

Приклад 7.4. Знайти координати центра ваги плоскої фігури, обмеженої півкругом і четвертою частиною круга , якщо . Осі координат показані на рис. 7.32.

Розв’язання. Для розв’язання цієї задачі використаємо метод симетрії і метод розбиття.

7.4.1. Розіб’ємо дану плоску фігуру на дві частини: пів-
круг і круговий сектор . Позначимо центри ваг цих частин і їх площі відповідно і .

7.4.2. Центр ваги півкруга лежить на осі , за формулою наведеною в пункті 7.3.4:

,

тому .

Площа півкруга дорівнює:

.

а)
б)	в)

Рис. 7.32

7.4.3. Центр ваги кругового сектора лежить на прямій , за формулою наведеною в пункті 7.3.1.

,

тому

;

.

Площа кругового сектора дорівнює:

.

7.4.4. Координати центра ваги даної плоскої фігури знаходимо за формулами (7.38):

;

.

Відповідь:

Приклад 7.5. Знайти координати центра ваги однорідної плоскої фігури, обмеженої гіперболою і прямими (рис. 7.33).

Розв’язання. Так як фігура АВЕ має вісь симетрії-бісектрису координатного кута, центр ваги лежить на цій бісектрисі. Таким чином, .

Для знаходження використаємо формулу

,

де: — площа фігури; — статичний момент площі відносно осі .

Рис. 7.33

Обидві ці величини вирахуємо з допомогою інтегрування.

7.5.1. Знайдемо абсциси крайніх точок фігури:

, (як точка перетину ліній і );

.

7.5.2. Площа плоскої фігури дорівнює:

.

7.5.3. Статичний момент площі відносно осі :

.

7.5.4. Координати центра ваги дорівнюють:

.

Відповідь: .

Приклад 7.6. Знайти координати центра ваги неоднорідного бруса у вигляді куба, в який запресований однорідний циліндр см (рис. 7.34). Питома вага бруса та циліндра відповідно дорівнюють

Н/см³ та Н/см³.

Рис. 7.34

Розв’язання. Для розв’язання використаємо метод розбиття та метод симетрії. Виділимо три тіла: брус у вигляді куба, висвердлений з нього циліндр із питомою вагою g₁ і запресований циліндр із питомою вагою g₂. Позначимо ваги бруса, запресованого в нього циліндра і висвердленого циліндра , і , центри їхніх ваг через -

відповідно.

7.6.1. Сила ваги бруса в цілому:

Н.

Координати центра ваги бруса дорівнюють:

см.

7.6.2. Сила ваги циліндричного стрижня дорівнює:

Н.

Координати центра ваги стрижня:

см;

см;

см.

7.6.3. Сила ваги висвердленого циліндричного тіла радіусом , дорівнює

Н.

Знак мінус, оскільки це тіло є висвердлене із бруса.

Координати центра ваги

см; см; см.

7.6.4. Знаходимо координати всього тіла за формулами:

см

см, тому що тіло має площину симетрії, паралельну .

см

Відповідь: см; см; см.