Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Композиция функций
|
|
Под композицией функций f и g будем понимать композицию отношений f и g и обозначать fog или gof. Ясно, что о композиции функций fog имеет смысл говорить, если 
. Однако, возникает вопрос: если даже отношение fog определено, то будет ли оно функцией? И какими свойствами обладает композиция двух функций? Ответ на первый вопрос дает теорема:
Теорема 1 (о композиции): Пусть g: A®B и f: B®C - функции. Тогда их композиция fog тоже является функцией, причем
1. D fog={xÎ A| g(x)Î Df}
2. (fog)(x)=f(g(x)) для каждого xÎ D fog
3. fog={(x, f(g(x))|" x (g(x) Î Df}
Доказательство:
По определению композиции отношений имеем: fog={(x, y)| $zÎ B ((x, z)Î gÙ (z, y)Î f)}. Так как g - функция, то для каждого x существует единственный zÎ B, а так как f - функция, ему не может соответствовать более одного y из C, поэтому если (x, y) Î fog и (x, y1) Î fog, то y=y1, так как z - один и тот же. Далее, из этого же равенства, если (x, y) Î g, то xÎ Dg и z=g(x) (1), а если (x, y) Î f и f - функция, то z=g(x)Î Df (2) и y=f(z)=f(g(x)) (3). Чтобы композиция была определена (z существовал) необходимо и достаточно, чтобы g(x) Î Df, но это и означает, что Dfog={xÎ A| g(x) Î Df}, свойства 2) и 3) автоматически следуют из равенств (2) и (3).
Что и требовалось доказать.
Упражнение 1: Пусть f: A®B и g: B®C - функции. Что является областью определения функции gof, если:
a) f - функция, g - отображение
b) f - отображение, g - функция
c) f и g – отображения?
Вернемся к свойствам композиции.
Теорема 2: Пусть f: A®B и g: B®C - функции. Тогда:
a) если f и g инъективны, то gof инъективна
b) если f и g сюръективны, то gof сюръективна
c) если f и g биективны, то gof биективна.
Доказательство:
a) Пусть x1, x2Î Dgof и x1¹ x2. Пусть y1=(gof)(x1), а y2= (gof)(x2), но по теореме 1 y1=g(f(x1)) и y2=g(f(x2)). Но f(x1)¹ f(x2), в силу инъективности f, а значит g(f(x1))¹ g(f(x2)) в силу инъективности g.
b) самостоятельно
c) следует из а) и б)
Что и требовалось доказать.
Замечание: Если f и g вещественные функции, то gof или fog называют сложной функцией.
Пример 11: f: R ® R, x a sin x, g: R ® R, g: x a 
, тогда fog: x asin 
, gof: x a 
. Найдите Dgof и Dfog.
Свойство 1(композиции): (fo g)o h= fo (go h).
Доказательство следует из соответствующего свойства отношений.