Можно также использовать опыт предыдущих исследований, и там, где выбранные формы уравнений связи давали удовлетворительный результат, рекомендовать их использовать в дальнейшем.

Наиболее часто для характеристики связей экономических показателей используют следующие типы функций:

В нашем примере (зависимости числа туристов от затрат фирмы на рекламу) эмпирическая линия регрессии все же больше всего приближается к прямой и, следовательно, теоретическая линия регрессии может быть представлена уравнением вида:

Для нахождения параметров а и b уравнения регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении метода наименьших квадратов, считается, что сумма квадратов отклонений эмпирических точек теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной:

Следовательно, применение метода наименьших квадратов для определения параметров а и bпрямой, наиболее соответствующей эмпирическим данным, сводится к задаче на экстремум.

Функция двух переменных S(а, b) может достигнуть экстремума в том случае, когда первые частные производные этой функции равняются нулю, т.е. когда:

Вычисляя эти частные производные, получим

После несложных преобразований получим систему нормальных уравнений способа наименьших квадратов для определения величины параметров а и b уравнения прямолинейной корреляционной связи по эмпирическим данным:

(2)

Решая систему уравнений (2) относительно a и b, получим следующие формулы для определения этих параметров:

=(19050*2013-192310*199)/20*2013-199²=77960/659=118, 3

=20*192310-199*19050/659=55250/659=83, 84

Для определения коэффициентов a и b составим вспомогательную таблицу 5

Получим систему уравнений

Таблица 5

В результате: а = 118, 3; b= 83, 84 и = 118, 3+ 83, 84x.

Параметр a – это свободный член уравнений регрессии, он определяет положение начальной точки линии регрессии в системе координат при х=0 y=а

Параметр b называется коэффициентом регрессии, является угловым коэффициентом линии регрессии и показывает, насколько изменяется в абсолютном значении результативный признак при изменении на единицу признака фактора х.

Если данные сгруппированы (например, представлены в виде корреляционной таблицы 4), то система нормальных уравнений имеет вид

где f_x— частота повторения данного варианта значения у;

f_y — частота повторения данного варианта значения х;

f_xy — частота повторения данного сочетания значений х и у.

Для нашего примера имеем:

Выражаем из первого уравнения системы показатель a, подставляем во второе уравнение системы

а=942, 6-9, 95b; 199*(942, 6-9, 95b)+2013b=189886; b=2308, 6/32, 95=70, 06;

а=942, 6-9, 95*70, 06=245, 5 и получаем

a=245, 5; b=70, 06

Уравнение регрессии будет иметь вид: = 242, 6 + 70, 06x

Графическое изображение эмпирической и теоретической линии связи представлено на рис. 1.

Для нахождения параметров гиперболы =а+b/х по способу наименьших квадратов пользуются аналогичной прямолинейной зависимости системой нормальных уравнений, в которой х заменен на 1/х.

Для определения параметров параболы второго порядка =а+bх+сх² в соответствии метода наименьших квадратов решается система, состоящая из трех нормальных уравнений:

Выбор теоретической формы корреляционной связи всегда несколько условен, так как в действительности зависимости между признаками лишь приблизительно соответствуют функциональным. Поэтому только при высокой тесноте связи между признаками линия регрессии имеет содержательный смысл и практическое значение.