Линейная множественная регрессия.

Из-за особенностей метода наименьших квадратов во множественной регрессии, как и в парной, применяются только линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейному виду путем преобразования переменных. Чаще всего используется линейное уравнение, которое можно записать следующим образом:

, где

a₀, a_1, …, a_k – параметры модели (коэффициенты регрессии);

ε _j – случайная величина (величина остатка).

Коэффициент регрессии а ₁показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак у, если переменную х ₁увеличить на единицу измерения при фиксированном (постоянном) значении других факторов, входящих в уравнение регрессии. Параметры при x называются коэффициентами «чистой» регрессии.

Классический подход к оцениванию параметров линейной модели основан на методе наименьших квадратов (МНК). Система нормальных уравнений имеет вид:

Предположим, что зависимость расходов на продукты питания по совокупности семей характеризуется следующим уравнением:

, где

y – расходы семьи за месяц на продукты питания, тыс. руб.;

x ₁ – месячный доход на одного члена семьи, тыс. руб.;

x ₂ – размер семьи, человек.

Анализ данного уравнения позволяет сделать выводы – с ростом дохода на одного члена семьи на 1 тыс. руб. расходы на питание возрастут в среднем на 350 руб. при том же среднем размере семьи, или 35% дополнительных семейных расходов тратится на питание. Увеличение размера семьи при тех же ее доходах предполагает дополнительный рост расходов на питание на 730 руб. Первый параметр не подлежит экономической интерпретации.

Пример.

По четырем предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%). Требуется написать уравнение множественной регрессии.

Номер предприятия
, (%)
, (%)
, (тыс. руб.)

Решение:

Предположим, что зависимость выработки продукции на одного работника характеризуется следующим уравнением:

.

На основании исходных данных составляем систему уравнений для определения коэффициентов и .

;

Вспомогательная таблица расчетов

			y
Ср.зн.	2, 75			56, 25				7, 75

Решение систему по методу Крамера. Вычисление определителя системы:

Аналогично вычисляются частные определители, заменяя соответствующий столбец столбцом свободных членов:

; ; .

Коэффициенты уравнения определяются по формулам:

Таким образом, уравнение имеет вид:

.

Величины и называют парными коэффициентами корреляции и определяют по формулам

, .

;

;

.

Близость парных коэффициентов корреляции указывает на тесную линейную связь между признаками.