Характеристики моделей кривых роста

Комплекс аналитических методов выравнивания сводится к выбору конкретных кривых роста и определению их параметров. Под кривой роста понимают функцию, аппроксимирующую за­данный динамический ряд.

К первому классу относятся кривые, которые используются для описания процессов с монотонным характером развития и отсутствием пределов роста.

Ко второму классу относятся кривые, имеющие предел роста в исследуемом периоде. Такие кривые называют кривыми насыщения.

Если кривые насыщения имеют точки перегиба, то они относятся к кривым третьего класса. Их называют S - образными кривыми.

Среди кривых роста первого типа выделяют класс полиномов:

у_t = а₀ + а₁t + а₂t² + а₃t³ +...

Параметр а₀ является начальным уровнем ряда при t = 0,

а₁ - линейный прирост,

а₂ — ускорение роста,

а₃ — изменение ускорения роста.

В экономических исследованиях в большинстве случаях применяют­ся полиномы не выше третьего порядка.

Полином первой степени

у_t = a₀ + a₁t

на графике изображается в виде прямой и используется для описания процессов, развивающихся равномерно во времени.

Полином второй степени

у_t = а₀ + а₁t + а₂t²

на графике изображается в виде параболы и применяется в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно. Если a₂ > О, то ветви параболы направлены вверх, в случае а₂ < 0 — вниз.

Полином третьей степени

у_t = а₀ + а₁t + а₂t²+ а₃t³

У полинома третьей степени знак прироста ординат может изменяться один или два раза.

Оценки параметров полиномов определяются методом наименьших квадратов. Так, нормальное уравнение для определения коэффициентов прямой имеет вид

Систему нормальных уравнений можно упростить и уменьшить абсо­лютные значения величин, если перенести начала координат в середину ряда динамики. Если до переноса начало координат t равно 1, 2, 3..., то после переноса получим:

• для четного числа членов t=..., -5. -3, -1, 1, 3, 5...,

• для нечетного числа членов t: =..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...