Задача 3. В задачах 1–10 даны координаты точек А, В, С

В задачах 1–10 даны координаты точек А, В, С. Требуется: а) записать векторы и и найти модули этих векторов; б) найти угол между векторами и ; в) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору и изобразить ее на чертеже, используя уравнение плоскости «в отрезках».

1. А(7; –4; 1), В(12; –3; 1), С(10; 1; 5).

2. А(0; –3; 3), В(5; –2; 3), С(3; 2; 7).

3. А(–2; –1; –2), В(3; 0; –2), С(1; 4; 2).

4. А(–6; 0; 0), В(–1; 1; 0), С(–3; 5; 4).

5. А(–2; –3; –8), В(3; –2; –8), С(1; 2; –4).

6. А(1; 0; –1), В(6; 1; –1), С(4; 5; 3).

7. А(–1; 4; 1), В(4; 5; 1), С(2; 9; 5).

8. А(3; –6; –3), В(8; –5; –3), С(6; –1; 1).

9. А(1; 0; 0), В(6; 1; 0), С(4; 5; 4).

10. А(2; –8; –2), В(7; –7; –2), С(5; –3; 2).

Задача 4.

Систему уравнений записать в матричной форме и решить: а) с помощью обратной матрицы, б) с помощью правила Крамера и в) методом Гаусса.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Задача 5.

Найти указанные пределы.

1. а) ; б) ;

в) ; г) .

2. а) ; б) ;

в) ; г) .

3. а) ; б) ;

в) ; г) .

4. а) ; б) ;

в) ; г) .

5. а) ; б) ;

в) ; г) .

6. а) ; б) ;

в) ; г) .

7. а) ; б) ;

в) ; г) .

8. а) ; б) ;

в) ; г) .

9. а) ; б) ;

в) ; г) .

10. а) ; б) ;

в) ; г) .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А(–4; 8), В(5; –4), С(10; 6).

Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0, 01; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр.

Решение.

1. Расстояние между точками и определяется по формуле:

. (1)

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

.

2. Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид:

. (2)

Подставив в (2) координаты точек:

Для нахождение углового коэффициента прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у: . Отсюда . Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, получим уравнение прямой АС.

Отсюда .

3. Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны и , определяется по формуле:

. (3)

Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее , .

,

рад.

4. Так как высота перпендикулярна стороне , то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.

.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном угловым коэффициентом направлении, имеет вид:

. (4)

Подставив в (4) координаты точки С и , получим уравнение высоты :

. (5)

Для нахождения длины определим координаты точки , решив систему уравнений (АВ) и ():

откуда , то есть .

Подставив в формулу (1) координаты точек С и , находим:

.

5. Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид:

. (6)

Так как является диметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка . Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:

Следовательно, и . Используя формулу (6), получаем уравнение искомой окружности:

.

На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат изображен треугольник , высота , окружность с центром в точке Е.

Задача 2. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки и до прямой равно числу . Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение.

Пусть – текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр на прямую (рис. 2). Тогда . По условию задачи . По формуле (1) из предыдущей задачи

.

Тогда

Полученное уравнение представляет собой эллипс вида , где .

Определим фокусы эллипса и . Для эллипса справедливо равенство , откуда и . То есть и – фокусы эллипса (точки и А совпадают).

Эксцентриситет эллипса .

у

М В

F ₁ А

-6 –3 0 3 6 12 х

Рис. 2

Задача 3. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до точки и до прямой равно числу .

Решение.

Пусть – произвольная точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр на прямую и определим координаты точки В (рис. 3). Очевидно, что абсцисса точки равна (так как точка В лежит на прямой ), а ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, имеем: .

у

3 В М

–4 0 4 А х

-3

Рис. 3

По условию задачи ; так как

, то получаем:

Полученное уравнение представляет собой гиперболу вида , где .

Задача 4. Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки равно расстоянию до прямой . Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение.

– текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр МВ на прямую (рис. 4). Тогда . Так как , то

или

y У’

2 B

0 3 х

Х’

–4 А

M

Рис. 4

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке . Для приведения уравнения параболы к простейшему (каноническому) виду положим , . Тогда в системе координат уравнение параболы принимает следующий вид: . В системе координат строим параболу.

Задача 5. Даны координаты трех точек:

А (3; 0; –5), В (6; 2; 1), С (12; –12; 3).

Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору .

Решение.

1) Если даны точки и , то вектор через орты выражается следующим образом:

.

Подставляя в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

.

Аналогично

.

Модуль вектора вычисляется по формуле

.

Подставляя в формулу найденные ранее координаты векторов и , находим их модули:

,

.

2) Косинус угла , образованного векторами и , равен их скалярному произведению, деленному на произведение их модулей

.

Так как скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме попарных произведений одноименных координат, то

.

Тогда

.

3) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид

.

По условию задачи искомая плоскость проходит через точку перпендикулярно вектору . Подставляя , получим:

– искомое уравнение плоскости.

Перенеся свободный член -30 в правую часть тождества и разделив на 30 все члены выражения, получим уравнение плоскости «в отрезках»:

.

Строим чертеж.

Задача 6, а. Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

Решение.

Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; Х – матрицу-столбец неизвестных ; Н – матрицу-столбец свободных членов:

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

. (1)

Если матрица А – невырожденная (ее определитель отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу . Умножив обе части уравнения (1) на , получим:

. (2)

Но (Е – единичная матрица), а , поэтому

.

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу .

Пусть имеем невырожденную матрицу

. Тогда ,

где – алгебраическое дополнение элемента в определителе матрицы А, которое является произведением на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием -ой строки и -го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель и алгебраические дополнения элементов матрицы А.

– следовательно матрица А имеет обратную матрицу .

Тогда .

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Откуда получаем решение

Задача 6, б. Решить систему по формулам Крамера

Решение.

Задача 6, в. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса, выполнить проверку: . (2)

Решение.

Составим расширенную матрицу и выполним над ней элементарные преобразования, указанные в методе Гаусса.

Метод Гаусса решения системы (2) состоит в следующем:

Разделим все члены первого уравнения на , а затем, умножив полученное уравнение на , вычтем его соответственно из второго и третьего уравнений системы (2). Тогда из второго и третьего уравнений неизвестное будет исключено, и получится система вида:

(3)

Теперь разделим второе уравнение системы (3) на , умножим полученное уравнение на и вычтем из третьего уравнения. Тогда из третьего уравнения неизвестное будет исключено и получится система треугольного вида:

(4)

Из последнего уравнения системы (4) находим . Подставляя найденное во второе уравнение, находим . Наконец, подставляя найденное значение в первое уравнение, находим .

Последней матрице соответствует ступенчатая система уравнений:

,

равносильная исходной.

Из этой системы последовательно находим:

Таким образом: .

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходную систему:

,

Каждое уравнение системы обращается в верное равенство, следовательно, – единственное решение системы.

Задача 7. Вычислить пределы:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение.

а) Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенному выражению вида .

Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель . Такое сокращение возможно, так как множитель отличен от нуля при :

б) При выражение дает неопределенность вида . Для ее устранения умножим и разделим это выражение на :

в) Обозначим . Тогда и при . Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела , имеем:

г) При выражение является неопределенностью вида . Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при величины и применим формулу второго замечательного предела:

.

Тогда имеем:

.

Пусть . Тогда и при . Переходя к переменной у, получим:

.