Линейные операции над векторами

1. Вектором называется направленный отрезок прямой и обозначается или , где А – начальная, а В – конечная точки.

2. Длиной (или модулем) (или ) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Виды векторов	Определение	Обозначение
Нулевой	, если А = В
Коллинеарные	Векторы, параллельные одной прямой	||
Одинаково направленные	и коллинеарные и имеют одно и то же направление
Противоположно направленные	и коллинеарные и направлены в противоположные стороны
Компланарные	Векторы , , , параллельные одной плоскости (или лежащие в одной плоскости)	||П ( П) ||П ( П) ||П ( П)
Единичный вектор-орт	Вектор длины, равной 1	, = 1, = 1
Равные	Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом
Свободный	Вектор, заданный в пространстве с точностью до параллельного переноса

Линейные операции над векторами

1. Произведением вектора на число l называется вектор = l·| |, имеющий длину l , сонаправленный с , если l > 0, и противоположно направленный вектору , если l < 0. Противоположный вектор – = (–1)· .

2. Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора , при условии, что начало совмещено с концом (правило треугольника).

= +

Построив на векторах и , выходящих из одной точки, параллелограмм, видим, что вектор = + совпадает с диагональю параллелограмма (правило параллелограмма).

Суммой n векторов называется вектор , идущий из начала в конец при условии, что начало последующего вектора совпадает с концом предыдущего (правило многоугольника).

=

Если три вектора не лежат в одной плоскости, то = представляет диагональ параллелепипеда, построенного на векторах .

Разностью двух векторов и называется сумма векторов и (– ), противоположного вектору , т.е. – = + (– ).

Легко убедиться в том, что в параллелограмме, построенном на векторах = и = , одна диагональ – вектор = = + , а другая диагональ – вектор = = – .

D С

А В

+ = (а ₁ + b ₁; а ₂ + b ₂);

– = (а ₁ – b ₁; а ₂ – b ₂);

l × = (l а ₁, l а ₂).