Оценка устойчивости критерием Гурвица

Для оценки устойчивости систем критерием Гурвица необходимо сформировать матрицу Гурвица, а затем найти ряд определителей данной матрицы.

В системе MATLAB ввод значений элементов матрицы осуществляется в квадратных скобках по строкам. При этом элементы строки матрицы отделяются друг от друга пробелом или запятой, а строки отделяются друг от друга знаком “; ”. Определитель квадратной матрицы A вычисляется на основе треугольного разложения методом исключения Гаусса с использованием функции d=det(A).

В качестве примера оценим устойчивость системы, характеристическое уравнение которой имеет вид:

s⁶ + 6s⁵ + 21s⁴ + 44s³ + 62s² + 52s + 100 = 0.

Так как необходимое условие устойчивости выполнено (все коэффициенты больше нуля), то оценки устойчивости следует воспользоваться критерием Гурвица.

Сформируем матрицу Гурвица размера 6× 6:

Так как необходимое условие устойчивости выполнено, то в силу соотношений Δ ₁ = 6 > 0 и Δ ₆ = Δ ₅ × 100, остается вычислить четыре определителя (Δ ₂, Δ ₃, Δ ₄, и Δ ₅) с помощью функции d=det(a_i), где a_i обозначает идентификатор матрицы Δ _i.

В качестве примера рассчитаем определитель матрицы Δ ₅. Элементы этой матрицы вводим по строкам, при этом один элемент отделяем от другого пробелом. Строки отделяем одну от другой знаком “; ”. Таким образом, матрица Δ ₅ вводится в виде строки с идентификатором a:

a=[6 44 52 0 0; 1 21 62 100 0; 0 6 44 52 0; 0 1 21 62 100; 0 0 6 44 52]

Нажав клавишу Enter, можно воспроизвести матрицу Δ ₅ на экране монитора с целью проверки, правильно ли введены элементы этой матрицы.

a=

6 44 52 0 0

1 21 62 100 0

0 6 44 52 0

0 1 21 62 100

0 0 6 44 52

Затем вычисляем определитель матрицы Δ ₅, используя функцию det(a), и на экране монитора воспроизводится ответ:

det(Δ ₅) = -2819296 < 0.

Для других матриц приведем результаты расчета без пояснений, хотя уже из последнего соотношения следует, что данная система не является устойчивой.

det(Δ ₂) = 82, det(Δ ₃) =1688, det(Δ ₄) = 80952.