Ранговая корреляция.

Метод линейной корреляции применяется для определения меры соответствия двух признаков, выраженных количественно, иными словами, - для численных величин. Это метод, который требует соответствия распределения данного исследуемого признака закону нормального распределения.

В отличие от этого метода, метод ранговой корреляции (корреляция Спирмена) применим к любым количественно измеренным или ранжированным данным. Этот метод способен, в отличие от других, измерять согласованность изменения разных признаков у одного испытуемого или выявлять совпадения индивидуальных ранговых показателей у двух испытуемых; или у испытуемого и усредненный показатель некой группы; или какие-либо показатели в сравнении двух групп.

Метод ранговой корреляции Спирмена позволяет определить силу и направление корреляционной связи между двумя признаками (или двумя иерархиями признаков).

Для подсчета ранговой корреляции необходимо располагать двумя рядами значений, которые могут быть проранжированы. Такими рядами могут быть:

А) Два признака, измеренные в одной и той же группе переменных (наиболее часто в этом качестве выступает группа людей, которых принято тогда именовать испытуемыми или респондентами. Естественно, под переменными подразумеваются не сами люди, а данные ими ответы на те или иные вопросы.)

Б) две индивидуальные иерархии признаков, выявленные у двух испытуемых по одному и тому же набору признаков (скажем, по ответам на пункты анкеты или теста).

В) Две групповые иерархии признаков (например, соответствие каких-либо выборов, сделанных одной группой людей выборам другой группы).

Г) Индивидуальная и групповая иерархии признаков (например, сопоставление индивидуальной иерархии жизненных ценностей сотрудника усредненному мнению группы на этот же счет; сопоставление последовательности товаров, которые приобрели бы (в среднем) жители города А и города Б при условии получения премии, на которую заранее не рассчитывали.)

Ограничения метода ранговой корреляции. По каждой переменной должно быть представлено не менее 5 наблюдений. Верхняя граница выборки – меньше или равна 40. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена r_s при большом количестве одинаковых рангов по одной или обеим сопоставляемым переменным дает огрубленные значения. В идеале оба коррелируемых ряда должны представлять собой две последовательности несовпадающих значений. В случае несоблюдения такого условия вносится поправка на одинаковые ранги (будет дано ниже). Помимо этих ограничений, следует так же помнить об ограничениях корреляционного метода вообще – невозможность обнаружения причинной связи между явлениями.

Алгоритм расчета ранговой корреляции.

1) Определить, какие два признака или две иерархии признаков будут участвовать в сопоставлении как переменные А и В.

2) Проранжировать значения переменной А, начисляя ранг 1 наименьшему значению, в соответствии с правилами ранжирования. Занести ранги во 2-й столбец таблицы по порядку номеров признаков. (В 1-м к тому моменту уже находятся номера или имена исследуемых признаков.)

3) Проранжировать значения переменной В и занести в 3-й столбец таблицы по порядку номеров.

4) Подсчитать разности d между рангами А и В по каждой строке и результаты занести в 4-й столбец таблицы.

5) Возвести каждую разность из столбца 4 в квадрат, и результаты занести в столбец №5.

6) Подсчитать сумму квадратов из столбца №5.

7) При наличии одинаковых рангов, рассчитать поправки: Т_a =S(a³ – a)/12 и Т_b =S(b³ – b)/12

Где a и b -= объем каждой группы рангов в соответствующем ранговом ряду А и В.

8) Рассчитать коэффициент ранговой корреляции r_s при отсутствии одинаковых рангов – по формуле а; при наличии – по формуле б:

Формула а: Формула б:

r_s = 1 – 6 (Sd² + Т_a + Т_b) / N(N² – 1)

Где: Sd²– квадратов разностей между рангами; Т_a и Т_b – поправки на одинаковые ранги;

N – количество признаков, участвовавших в ранжировании.

9) Определить по специальной таблице критические значения r_s для данного N. Если r_s превышает критическое значение или, по крайней мере, равен ему, - корреляция достоверно отличается от нуля.

При 0, 05% уровне значимости:

Образец таблицы для внесения данных:

Формально (r-Пирсона): где R и S - ранги

Преимущество r-Спирмена по сравнению с r-Пирсона — в большей чувствительности к связи в случае:

· существенного отклонения распределения хотя бы одной переменной от нормального вида (асимметрия, выбросы);

· криволинейной (монотонной) связи

Недостаток r-Спирмена по сравнению с r-Пирсона — в меньшей чувствительности к связи в случае несущественного отклонения распределения обеих переменных от нормального вида.

1. Корреляция бинарных данных

Если обе переменные представлены в бинарной шкале (0, 1), для изучения связи между ними можно применять φ -коэффициент сопряженности (если для каждой переменной количество 0 и 1 приблизительно одинаковое).

Рассмотрим случай изучения связи двух бинарных переменных. Примеры таких переменных: пол (мужской, женский), образование (среднее, высшее), тревожность (низкая, высокая), успешность (низкая, высокая) и т. д. При изучении связей между бинарными переменными обычно строят четырехклеточные таблицы сопряженности:

В этом случае допустимо применение r -Пирсона непосредственно к исходным данным — двум бинарным переменным, принимающим значение 0 или 1, измеренным для каждого члена выборки численностью N. Результат применения r-Пирсона к двум бинарным переменным называется «фи-коэффициентом сопряженности» (Phi). Если данные представлены в четырехклеточной таблице сопряженности, то применяется формула, существенно упрощающая расчеты, но дающая аналогичный результат:

Пример. Исследовалась связь семейного положения студенток (X: 0 — холостая, 1 — замужем) и их академической успеваемости (Y: 0 — закончила вуз, 1 — отчислена).

Таблица сопряженности для этих данных:

Вычислим ср-коэффициент сопряженности:

.

Получена умеренная положительная взаимосвязь: холостые студентки чаще заканчивают вуз, а замужние — чаше отчисляются. Отметим, что тот же самый результат был бы получен при применении формулы r-Пирсона непосредственно к исходным данным.

Итак, φ -коэффициент есть просто r-Пирсона, вычисленный для бинарных данных. Следовательно, интерпретация φ -коэффициента подобна интерпретации r --Пирсона. Но использование φ -коэффициента существенно ограничено. Чем больше асимметрия распределения 0 и 1 по каждой переменной, тем менее точно φ -коэффициент отражает связь между бинарными переменными. Иначе говоря, применение φ - коэффициента требует приблизительного равенства количества 0 u 1 no каждой переменной.