Сложные проценты

Получение наращенной суммы при начислении процентов по схеме сложных процентов поясняется рис. 1.2.

Рис. 1.2. Наращение суммы вклада по схеме сложных процентов

При наращении по схеме сложных процентов происходит реинвестирование, или капитализация полученных процентов. Предположим, денежные средства вкладываются в банк на депозитный договор с капитализацией начисляемых процентов по годовой процентной ставке i на n -лет.

По истечении первого года наращенная сумма будет равна:

На втором году сумма депозитного вклада будет равна и наращенная сумма по истечению второго года будет равна:

К концу n -го года действия депозитного договора наращенная сумма будет определяться формулой:

(1.6)

Таким образом, последовательность наращенных сумм является геометрической прогрессией с начальным членом и знаменателем прогрессии Коэффициент пропорциональности между наращенной и первоначальной суммами называется коэффициентом наращения. При определении наращенной суммы в произвольный момент времени t необходимо пользоваться формулой:

(1.7)

где - день вложения денежных средств на депозит;

- день окончания депозитного договора;

- срок депозитного вклада в днях;

- количество дней в году.

Суммарный доход , получаемый за весь срок депозитного вклада в соответствии с формулами (1.6) и (1.7) может быть представлен в виде:

(1.8)

Определим наращенную сумму при m -кратном начислении процентов в год. Если начисление сложных процентов происходит m -раз в году, то наращенная сумма при первом начислении процентов будет равна:

При втором начислении процентов:

По истечении одного года при m -том начислении процентов наращенная сумма будет равна:

(1.9)

Если депозитный договор с m -кратным начислением процентов и их капитализацией заключается на n- лет, то наращенную сумму можно определить по формуле:

(1.10)

Определим эффективную годовую процентную ставку при m -кратном начислении процентов с их капитализацией из равенства получаемых за год наращенных сумм:

Отсюда для годовой эффективной процентной ставки получим:

(1.11)

Тогда формулу (1.10) для срока депозитного договора на n -лет при m -кратном начислении процентов можно записать в виде:

(1.12)

где - определяется формулой (1.11).

В соответствии с формулами (1.6), (1.7) и (1.12) наращенная сумма в схеме сложных процентов является показательной функцией. Сравнение наращенных сумм вычисляемых по схеме простых и сложных процентов (см. рис. 1.3) позволяет сделать следующие выводы:

1) при сроке вклада один год наращение по схеме простых и сложных процентов при одинаковых процентных ставках имеют одинаковый коэффициент наращения;

2) при сроке вклада меньше одного года коэффициент наращения по схеме простых процентов больше чем при схеме сложных процентов;

3) при сроке вклада больше одного года коэффициент наращения по схеме сложных процентов больше чем при схеме простых процентов;

4) при наращении по схеме сложных процентов m -кратное начисление процентов приводит к увеличению коэффициента наращения;

5) при наращении по схеме простых процентов m -кратное начисление процентов не влияет на коэффициент наращения.

Рис. 1.3. Наращение по простой и сложной ставкам