Срочные ренты

Срочной называется рента, когда рентный платеж R производится не единовременно, один раз в год, а разбит на r одинаковых платежей совершаемых r раз в год через равные промежутки времени.

Финансовый поток r -срочной ренты постнумерандо можно записать в виде:

Графическое представление r -срочной ренты постнумерандо при r = 4 приведено на рис. 2.4:

Рис. 2.4. r -срочная рента постнумерандо

Найдем современную стоимость r -срочной ренты постнумерандо когда дисконтирование платежей осуществляется по схеме сложных процентов, то есть множитель дисконтирования за один период 1/ r будет равен (1 + i)^{-1/ r}. С учетом данного множителя дисконтирования и формулы (2.3) для современной стоимости r -срочной ренты постнумерандо получим

В правой части данного равенства имеем nr -членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом с учетом формулы () для современной стоимости r -срочной ренты постнумерандо получим

(2.21)

Коэффициент приведения определяется множителем при R

(2.22)

Конечная, наращенная стоимость r -срочной ренты в соответствии с формулой (2.4) определится суммой

Данная сумма записана в обратном порядке, т. е. первым слагаемым является последний платеж, вторым слагаемым – предпоследний платеж, а последнее слагаемое определяется первый платеж с учетом его множителя наращения за nr -1 периодов. В правой части данного равенства имеем сумму nr -членов возрастающей по геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом с учетом формулы (2.5) для конечной, наращенной стоимости r -срочной ренты получим

(2.23)

Коэффициент наращения r -срочной ренты постнумерандо определяется формулой

(2.24)

Из сравнения формул (2.21) с (2.23) и (2.22) с (2.24) видно, что между современной и конечной стоимостями, а также между коэффициентами приведения и наращения r -срочной ренты постнумерандо справедливы формулы.

(2.25)

Получим формулы для расчета современной и конечной стоимостей r -срочной ренты пренумерандо. Финансовый поток для данной ренты можно записать в виде

Современная стоимость r -срочной ренты пренумерандо с учетом формулы (2.3) может быть записана в виде суммы

В правой части равенства имеем сумму nr -членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом , которая с учетом формулы (2.5) может быть записана в виде

(2.26)

Коэффициент приведения r -срочной ренты пренумерандо, являющийся множителем при R определяется формулой

(2.27)

Конечная стоимость r -срочной ренты пренумерандо с учетом формулы (2.4) может быть записана в виде

В данной формуле первое слагаемое определяет значение платежа , совершаемое в момент времени пересчитанное к окончанию срока ренты, а последнее слагаемое определяет значение платежа , пересчитанное за nr периодов к окончанию срока ренты. Правая часть данного равенства является возрастающей геометрической прогрессией со знаменателем , первым членом и ее сумма определяется формулой

(2.28)

Коэффициент наращения r -срочной ренты пренумерандо будет равен

(2.29)

Взаимосвязь между современной и конечной стоимостями, а также между коэффициентами наращения и приведения r -срочной ренты пренумерандо определяется аналогично (2.25)

(2.30)

При сравнении стоимостных показателей r -срочных рент постнумерандо и пренумерандо получим формулы

(2.31)

2.4. Расчет r -срочной ренты при погашении кредита

Рассмотрим применение формул для определения стоимости r -срочной ренты при расчете графика аннуитета в погашении задолженности по кредиту. Расчет будем проводить для следующих условий. В банке взят кредит на сумму D рублей под годовую процентную ставку i сроком на n лет. Погашение кредита осуществляется r -раз в год равными платежами размером R_r рублей.

В сумму платежа входят платеж в погашение тела кредита и проценты за пользование кредитом . Сумма кредита D выплачивается ссудозаемщику единовременно в день подписания кредитного договора. Поток платежей в погашение кредита является r -срочной рентой постнумерандо.

Так как сумма кредита D выплачивается в момент времени t ₀, то эта сумма, по сути, равна современной стоимости r -срочной ренты выплачиваемой в погашение кредита

(2.32)

где - размер разового платежа.

(2.33)

В соответствии с формулой (1.8) определим сумму процентов П ₁, выплачиваемых банку за пользование кредитом в сумме D рублей за время 1/ r лет до первого платежа

(2.34)

Сумма , выплачиваемая в погашение тела кредита, будет равна

(2.35)

Тогда сумма задолженности по кредиту после первого платежа составит

(2.36)

Сумма процентов П ₂, выплачиваемых за пользование кредитом при втором платеже будет равна

(2.37)

Сумма , выплачиваемая в погашение тела кредита при втором платеже определится разностью

а задолженность по кредиту после второго платежа определится формулой

(2.38)

Сумма процентов П_k, выплачиваемых за пользование кредитом при k -том платеже, и задолженность по кредиту после k -того платежа D_k определяется формулами

(2.39)

Общее число платежей в погашение кредита равно nr. Размер последнего платежа R_nr должен полностью погасить задолженность по кредиту и проценты за пользование кредитом.

Задолженность по телу кредита перед последним платежом будет равна

(2.40)

Проценты по кредиту П_nr и размер последнего платежа определяются формулами

(2.41)

В результате проведенных расчетов общая сумма уплаченных процентов за пользование кредитом будет равна

и должны соблюдаться следующие равенства

(2.42)

Проведем расчет графика платежей в погашение кредита на конкретном примере:

Пример 2.1. В коммерческом банке взят потребительский кредит на сумму 100 тыс. руб. сроком на один год (n = 1) под 20 % годовых (i = 0, 2). Погашение кредита осуществляется четырьмя (r = 4) ежеквартальными платежами. Рассчитать график платежей в погашение кредита.

Решение. По формуле (2.33) определяем размер разового квартального платежа

руб.

По формулам (2.34), (2.35) и (2.36) рассчитываем суммы выплачиваемые в погашение процентов по кредиту П ₁, тела кредита и задолженность по кредиту после первого платежа

По формулам (2.39) рассчитываем аналогичные параметры графика платежей при k = 2 и 3.

Для последнего четвертого платежа параметры графика платежей по кредиту рассчитываем по формулам (2.40)

Результаты расчета графика платежей сведены в табл. 2.1.

Приведенные выше формулы и расчеты справедливы, когда банк рассчитывает доходность по кредиту по схеме сложных процентов.

Таблица 2.1

Пример 2.1а. Для сравнения приведем результаты расчетов графика платежей, когда процентные доходы по кредиту банк рассчитывает не по формуле (2.34), а по процентной ставке i_r, пересчитанной к временному интервалу между платежами

(2.43)

где i – годовая процентная ставка;

r – количество платежей в году.

В этом случае для расчета размера разовых платежей нужно использовать формулу (2.6):

(2.44)

Приведем расчет графика платежей по кредиту при ставке доходности определяемой формулой (2.43) для условий кредитования указанных в рассматриваемом примере.

Определим размер разовых платежей

Определяем сумму процентов П ₁, уплачиваемых за пользование кредитом, и сумму , выплачиваемую в погашение тела кредита, при первом платеже

Сумма задолженности по кредиту после первого платежа будет равна

Рассчитываем суммы П_к, ∆ D_k и D_k на втором k = 2 и третьем k = 3 платеже

При четвертом платеж процентные доходы банка составят

а размер четвертого платежа будет равен

Результаты расчетов приведены в табл. 2.1 (под диагональной чертой). Из сравнения результатов расчета видно, что для банка выгоднее когда процентные доходы банка начисляются по ставке, определяющейся формулой (2.43). Банковская методика расчета графика платежей по кредиту совпадает с методикой, приведенной в примере 2.1.