Теоретические сведения. Двойной интеграл в общем виде записывается следующим образом: ,

Двойной интеграл

Двойной интеграл в общем виде записывается следующим образом: ,

где D – область интегрирования (плоская фигура);

– подынтегральная функция двух переменных, часто она довольно простая.

Для того чтобы вычислить двойной интеграл, его необходимо свести к так называемым повторным интегралам:

,

где - границы плоской фигуры D с лева и права вдоль оси Ox;

- функции ограничивающие плоскую фигуру D с низу и верху вдоль оси Oy.

Порядок обхода области интегрирования D можно изменить:

.

Площадь плоских фигур.

Вычислим площадь плоской фигуры D, ограниченной линиями x=a, x=b, y=f(x), y=g(x). Для определённости считаем, что f(x)> g(x) на отрезке [a; b]. Площадь данной фигуры численно равна:

,

когда под интегральная функция двух переменных равна единице .

Изобразим область D на чертеже:

Выберем первый способ обхода области: g(x) ≤ y ≤ f(x) и a ≤ x ≤ b.

Таким образом: .

Повторные интегралы можно считать по отдельности. Сначала внутренний интеграл, затем – внешний интеграл.

1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:

.

Используется формула Ньютона-Лейбница, с той лишь разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции.

2) Результат, полученный в первом пункте необходимо подставить во внешний интеграл: .

В полярных координатах, таким образом: .

Объем тела

Предполагаем, что функция существует в каждой точке плоской области D и задаёт некоторую поверхность трехмерного пространства. Для определенности считаем, что , то есть поверхность располагается над плоскостью XOY.

Согласно общей концепции интегрирования, произведение равно бесконечно малому объёму dV элементарного кусочка тела (посмотрите на кусок, выделенный на чертеже пунктирными линиями, и мысленно сделайте бесконечно малыми его «длину» и «ширину»). Двойной же интеграл объединяетэти бесконечномалые значения dV по всей области D, в результате чего мы получаем суммарный (интегральный) объём всего цилиндрическогобруса .

Тройной интеграл

В простейшем случае, когда , тройной интеграл численно равен объёму тела T. И действительно, в соответствии с общим смыслом интегрирования, произведение равно бесконечно малому объёму dV элементарного «кирпичика» тела. А тройной интеграл как раз и объединяет все эти бесконечно малые частички по области T, в результате чего получается интегральное (суммарное) значение объёма тела: .

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

ЗАДАНИЯ

1) Заменить порядок интегрирования и вычислить повторный интеграл .

2) Вычислить площади двойным интегралом ограниченные линиями

3) Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: , , , , .

4) Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: