Теоретические сведения. Определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a, b] с неопределенным связывает формула ньютона–лейбница:

Определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a, b] с неопределенным связывает формула Ньютона–Лейбница:

Основные свойства определенного интеграла:

1)

2)

3)

4)

5) если на [a, b], то m(b–a)< < M(b–a).

Понятие определенного интеграла широко применяется для вычисления различных геометрических и физических величин.

Площадь плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции аАВb, ограниченной графиком непрерывной функции у = f(x) (где а b), отрезком ab оси Оx: и отрезками прямых х=а и х = b, вычисляется по формуле , где .

Объем тела вращения.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аAВb, ограниченной непрерывной кривой у= f(х) (где а b), отрезком аb оси Ох и отрезками прямых х = а и х=b, вычисляется по формуле .

Путь, пройденный точкой.

Если точка движется прямолинейно и ее скорость v=f(t) есть известная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени вычисляется по формуле

.

Длина дуги кривой

Пусть некоторая функция f(х) непрерывна на отрезке [a, b], и её график на данном промежутке представляет собой дугу кривой. Длина дугу кривой выражается формулой:

или если функция задана параметрически: .

Несобственный интеграл.

В общем виде несобственные интегралы с бесконечными пределами выглядят так:

или или .

Рассмотрим случай . Техника работы с другими разновидностями – аналогична.

Применим формулу Ньютона-Лейбница при условии что :

.

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

ЗАДАНИЯ

1. Вычислить:

2. Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

3. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

4. Скорость движения точки изменяется по закону v = t ² + nt +m (м/с). Найти путь S, пройденный точкой за (nm) секунд от начала движения.

5. Найдите длину кривой от точки х ₀ = 1 до точки х ₁=2.

6. Исследовать на сходимость