Теоретические сведения. Схема исследования функций

Схема исследования функций

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1) Область существования функции. Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2) Точки разрыва. (Если они имеются).

3) Интервалы возрастания и убывания.

4) Точки максимума и минимума.

5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6) Области выпуклости и вогнутости.

7) Точки перегиба.(Если они имеются).

8) Асимптоты.(Если они имеются).

9) Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < -	- < x < -1	-1 < x < 0	0 < x < 1	1 < x <	< x < ¥
y¢ ¢ < 0	y¢ ¢ < 0	y¢ ¢ > 0	y¢ ¢ < 0	y¢ ¢ > 0	y¢ ¢ > 0
кривая выпуклая	кривая выпуклая	кривая вогнутая	кривая выпуклая	кривая вогнутая	кривая вогнутая

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < -	- < x < -1	-1 < x < 0	0 < x < 1	1 < x <	< x < ¥
y¢ > 0	y¢ < 0	y¢ < 0	y¢ < 0	y¢ < 0	y¢ ¢ > 0
функция возрастает	функция убывает	функция убывает	функция убывает	функция убывает	функция возрастает

Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 /2 и -3 /2.

Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

Построим график функции.

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

ЗАДАНИЯ

Исследовать функцию и построить ее график.

а) ; б)