Теоретические сведения. Понятие предела последовательности

Понятие предела последовательности. Предел функции в точке. Односторонние пределы в точке. Свойства пределов. Замечательные пределы. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация.

Числовой последовательностью называется упорядоченная совокупность чисел …, каждое из которых определяется по заданному правилу соответствия =f(n), где переменная n – натуральное число.

Число A называется пределом числовой последовательности , если все члены последовательности приближаются к этому числу при неограниченном возрастании номера n: .

Предел A функции y=f(x) в точке a записывается в виде и означает, что для всех значений x, достаточно близких к числу a (и отличных от него), соответствующие значения функции y=f(x) оказываются сколь угодно близкими к числу A.

Если x< a, , то употребляют запись ; если x> a, – . Числа и называются соответственно левым и правым пределом функции f(x) в точке a. Для существования предела функции f(x) при необходимо и достаточно, чтобы f(a+0)=f(a–0).

Основные теоремы о пределах: 1) Предел суммы конечного числа функций, имеющих пределы, равен сумме пределов этих функций. 2) Предел произведения конечного числа функций, имеющих пределы, равен произведению пределов функций. 3) Предел частного от деления двух функций, имеющих пределы, равен частному от деления пределов этих функций, если предел знаменателя не равен нулю.

Замечательные пределы: 1) ; 2) .

Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если она определена в окрестности точки a; существует предел функции f(x) в точке a; этот предел равен значению функции в точке a, т.е. , или f(a–0)=f(a+0)=f(a).

Точка a, принадлежащая области определения функции или являющаяся граничной для этой области, называется точкой разрыва, если в этой точке нарушается условие непрерывности функции.

Если существуют конечные пределы f(a–0) и f(a+0), причем не все три числа f(a–0), f(a+0), f(a) равны между собой, то a называется точкой разрыва I рода. Точки разрыва I рода подразделяются в свою очередь, на точки устранимого разрыва (когда f(a–0)=f(a+0) f(a)) и на точки скачка (когда f(a–0) f(a+0)). Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода.

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

ЗАДАНИЯ

Найти пределы функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .