Теоретические сведения. Определение. Производной функции f(x) в точке Х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v - функции, дифференцируемые в точке х.

1) (C× u)¢ = C× (u)¢

2) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

3) (u× v)¢ = u× v¢ + u¢ × v

4) , если v ¹ 0

5) (u(v))¢ = u¢ (v)× v¢

Производные основных элементарных функций.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

Производная сложной функции.

Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f. Тогда

Производная показательно-степенной функции.

Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)> 0.

Найдем производную функции y = u^v. Логарифмируя, получим:

lny = vlnu

Производная функции заданной параметрически.

Дана функция . Тогда ее производная будет

Производная неявно заданной функции.

Дана функция . Тогда ее производная будет

Пример. Найти производную функции .

Сначала преобразуем данную функцию:

Пример. Найти производную функции .

Пример. Найти производную функции

Пример. Найти производную функции .

По полученной выше формуле получаем:

Производные этих функций:

Окончательно:

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

ЗАДАНИЯ

1. Найти производные функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4)

5) .

6) ;

2. Найти производную третьего порядка функции .