Теоретические сведения. Частные производные первого порядка.

Частные производные первого порядка.

Пусть задана функция z = ƒ (х; у). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение Δ х, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается ∆ _хz. Итак,

.

Аналогично получаем частное приращение z по у:

.

Полное приращение Δ z функции z определяется равенством

.

Если существует предел

,

то он называется частной производной функции z = ƒ (х; у) в точке М (х; у) по переменной х и обозначается одним из символов:

, , .

Аналогично определяется и обозначается частная производная от z = ƒ (х; у) по переменной у:

.

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ (х; у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).

Частные производные высших порядков.

Частные производные и называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х; у) є D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

;

;

;

;

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называетсясмешанной частной производной.

Полный дифференциал функции.

Пусть функция z = ƒ (х; у) определена в некоторой окрестности точки М (х; у) и имеет частные производные, то получаем формулу для вычисления полного дифференциала:

.

где и – частные дифференциалы функции z = ƒ (х; у).

Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.

Производная в данном направлении. Градиент функции.

Производная функции z = ƒ (х; у) в точке М (х; у) в направлении вектора называется , где .

Если функция ƒ (х; у) дифференцируема, то производная в данном направлении вычисляется по формуле

,

где α, β – углы, образованные вектором с осями Ox и Oy.

Производная по направлению дает скорость изменения функции z в направлении вектора l.

Определение. Градиентом функции z = ƒ (х; у) в точке М (х; у) называется вектор, выходящий из точки M и имеющий своими координатами частные производные функции z:

; .

Градиент функции и производная в направлении вектора l связаны формулой . Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке.

Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке.

Определение. Касательная плоскость к поверхности в точке М₀ – это плоскость, содержащая касательные ко всем кривым, которые принадлежат данной поверхности и проходят через точку М₀.

Если поверхность задана уравнением (т.е. неявно), то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке можно найти по следующей формуле:

,

где – частные производные функции . При нахождении этих производных нужно руководствоваться правилами дифференцирования функции трёх переменных, то есть, при дифференцировании по какой-либо переменной, две другие буквы считаются константами

Определение. Нормаль к поверхности в точке М₀ – это прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости.

– это вектор нормали касательной плоскости, и он же – направляющий вектор нормальной прямой. Составим канонические уравнения нормали по точке М₀ и направляющему вектору : .

Экстремум функции двух переменных

Функция z = ƒ (х; у) имеет максимум (минимум) в точке М₀ (х ₀; у ₀), если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке М (х; у) некоторой окрестности точки M ₀, то есть ƒ (х ₀; у ₀) > ƒ (х; у) (соответственно ƒ (х ₀; у ₀) < ƒ (х; у)) для всех точек М (х; у), принадлежащих этой окрестности. Максимум и минимум функции называется ее экстремумом. Точка M ₀, в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция z = ƒ (х; у) достигает экстремума в точке М₀ (х ₀; у ₀), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, то есть: и .

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Стационарные точки и точки, в которых производные не существуют и которые лежат внутри области определения функции, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Достаточное условие существования экстремума:

Пусть М₀ (х ₀; у ₀) стационарная точка функции z = ƒ (х; у). Обозначим , , и составим дискриминант . Тогда:

если Δ > 0, то функция имеет в точке M ₀ экстремум, а именно максимум, при A < 0 (или C < 0) и минимум, при A > 0 (или C > 0);

если Δ < 0, то в точке M ₀ экстремума нет;

если Δ = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

ЗАДАНИЯ

1. Найти полный дифференциал функции ;

2. Найти производную в точке М (n, m) по направлению , образующего угол 45⁰ с осью Ox, функции . Чему равен |grad u (M)|?

3. Найти производные второго порядка функции ;

4. Найти уравнение касательной плоскости и нормали гиперболического параболоида в точке .

5. Найти экстремумы функции .