Теоретические сведения. Кривая второго порядка – геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

Кривая второго порядка – геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

,

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

Инварианты.

Вид кривой зависит от трёх инвариантов относительно поворота и сдвига системы координат:

Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение.

Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой

Так, например, невырожденная кривая (Δ ≠ 0) оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:

или .

Корни этого уравнения являются вещественными числами.

Классификация кривых второго порядка.

Вид кривой	Каноническое уравнение	Инварианты
Невырожденные кривые (Δ ≠ 0)
Эллипс
Гипербола
Парабола
Вырожденные кривые (Δ =0)
Две мнимые пересекающиеся прямые
Две пересекающиеся прямые
Две параллельные прямые

Главные оси и вершины кривой второго порядка.

Главной осью кривой второго порядка называется её диаметр, перпендикулярный к сопряжённым к ним хордам. Этот диаметр является осью симметрии кривой. Каждая центральная кривая либо имеет две взаимно перпендикулярные оси, либо все диаметры являются главными осями. В последнем случае кривая является окружностью. Нецентральные кривые имеют лишь одну главную ось. Точки пересечения главной оси с самой кривой называются её вершинами.

Угол между положительным направлением оси Ox и каждым из двух главных направлений определяется формулой .

Центр кривой второго порядка

Координаты центра определяются системой уравнений:

Решая эту систему относительно x₀ и y₀ получим (D ≠ 0):

Если кривая центральная, то перенос начала координат в её центр приводит уравнение к виду

, , , где x̅, y̅ — координаты относительно новой системы.

Эллипс

Определение. Эллипс – это множество точек (x, y), сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Каноническое уравнение .

Принятые названия:

· 2a – большая ось эллипса, на ней расположены фокусы;

· 2b – малая ось эллипса, b< a;

· F₁(c, 0), F₂(-c, 0) – фокусы эллипса;

· 2с – расстояние между фокусами, c < a, ;

· , – фокальные радиус-векторы (по определению );

· называется эксцентриситетом, ;

· называется директрисами эллипса (отношение расстояний от любой точки эллипса до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равна ε).

Гипербола

Определение. Гипербола – это множество точек (x, y), разность расстояний каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Каноническое уравнение .

Принятые названия:

· 2a – большая ось гиперболы, на ней расположены фокусы;

· 2b – малая ось гиперболы, b< a;

· F₁(c, 0), F₂(-c, 0) – фокусы гиперболы;

· 2с – расстояние между фокусами, ;

· , – фокальные радиус-векторы (по определению );

· называется эксцентриситетом, ;

· называется директрисами гиперболы (отношение расстояний от любой точки гиперболы до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равна ε).

Парабола

Определение. Парабола – это множество точек (x, y), равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение .

Принятые названия:

· OX –ось симметрии параболы, на ней расположен фокус;

· F(p/2, 0) – фокус параболы;

· – фокальный радиус-вектор (по определению );

· называется эксцентриситетом;

· называется директрисами параболы (отношение расстояний от любой точки параболы до фокуса и директрисы есть величина постоянная, равна ε =1).

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

ЗАДАНИЯ

1. Определить тип кривой второго порядка и построить ее чертеж: .

2. Определить тип поверхности второго порядка и построить ее чертеж:

a) ;

b) .