Теоретические сведения. Алгебраическая форма комплексного числа.

Алгебраическая форма комплексного числа.

Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

Возведение мнимой единицы в степень.

При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b - мнимой частью (b = Im z).

Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными.

Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Комплексное число изображается на координатной плоскости точкой или вектором , начало которого совпадает с началом координат, а конец с точкой М (рис. 1).

Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона j - аргументом комплексного числа.

Показательная форма комплексного числа.

Это выражение называется формулой Эйлера.

Действия с комплексными числами.

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

1) Сложение и вычитание.

2) Умножение.

В тригонометрической форме:

,

В показательной форме:

,

3) Деление.

В тригонометрической форме:

В показательной форме:

4) Возведение в степень.

Это выражение называется формулой Муавра.

,

где n – действительное число.

Пример. а) Даны два комплексных числа . Требуется найти значение выражения в алгебраической форме.

б) Для числа найти тригонометрическую форму, найти z²⁰.

a) Очевидно, справедливо следующее преобразование:

Далее производим деление двух комплексных чисел:

Получаем значение заданного выражения: 16(- i)⁴ = 16 i ⁴ =16.

б) Число представим в виде , где

Тогда .

Для нахождения воспльзуемся формулой Муавра.

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

ЗАДАНИЯ

1. Вычислить и ответ записать в алгебраической форме:

1) ; 2) ; 3) .

2. Возвести в степень и записать число в тригонометрической или показательной форме: .

3. Вычислить и ответ записать в тригонометрической или показательной форме:

.