Теоретические сведения. Геометрический смысл производной.

Геометрический смысл производной.

Определение. Если функция дифференцируема в точке (т.е. если существует конечная производная ), то уравнение касательной к графику функции в точке можно найти по следующей формуле: .

Определение. Если функция дифференцируема в точке (т.е. если существует конечная производная ), то уравнение нормали к графику функции в точке можно найти по следующей формуле: .

Механический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки: , а ускорение .

Правило Лопиталя.

Рассмотрим функции , которые бесконечно малыв некоторой точке k. Если существует предел их отношений , то в целях устранения неопределённости или можно взять две производные – от числителя и от знаменателя. При этом: , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

Применение правила Лопиталя к неопределённости вида , , , , так же возможно после некого преобразования функции в пределе.

Дифференциал функции.

Производную функции можно записать через дифференциал функции в виде: . Откуда видно: , что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции при . Получим формулу для приближенных вычислений функции

.

То есть идея формулы приближенных вычислений состоит в том, чтобы точное значение функции заменить суммой значений и . Для этого необходимо начальное значение x ₀ разделить на два слагаемых , причем так, чтобы значение функции от числа x легко вычислялось.

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

ЗАДАНИЯ

1. Составить уравнение нормали и касательной к кривой в точке (n–m; m+n).

2. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=n с.

3. Найдите предел по правилу Лопиталя .

4. Вычислить приближенное значение функции , используя дифференциал функции.