Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах

1. Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах: ∂ Q ∂ x =∂ P ∂ y.
2. Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u (x, y): .
3. Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y: .
4. Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u (x, y) во второе уравнение:

.

Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции φ (y):

.

1. Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ (y) и, следовательно, функцию u (x, y):

.

1. Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде:

u (x, y)= C.

Примечание: На шаге 3, вместо интегрирования первого уравнения по переменной x, мы можем проинтегрировать второе уравнение по переменной y. После интегрирования нужно определить неизвестную функцию ψ (x).

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

ЗАДАНИЯ

Найти общее решение уравнения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .