![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Тема: Закони розподілу одновимірних випадкових величин. Функція розподілу вірогідності, щільність розподілу вірогідності.
Ціль: 8. Ознайомитися з поняттям математичного очікування. 8. Ознайомитися з поняттям дисперсії. 8. Ознайомитися з поняттям середньо квадратичного відхилення. 8. Ознайомитися з поняттям моди, моменту і ентропії. Теоретичні відомості: У багатьох практичних завданнях важко або навіть неможливо повністю визначити функцію розподілу випадкової величини. У таких випадках повний опис випадкової величини за допомогою закону розподілу може бути замінене вказівкою окремих параметрів (числових характеристик) цього розподілу. Найбільш важливими числовими характеристиками випадкової величини X є математичне очікування Для дискретної випадкової величини X математичне очікування
Якщо X — безперервна випадкова величина з щільністю вірогідності
Формули для дисперсії відповідно мають вигляд:
де Математичне очікування визначає абсцису центру тяжіння кривої розподілу, а дисперсія — розсіювання (розкид) випадкової величини щодо її математичного очікування. Розсіювання випадкової величини часто характеризують середнім квадратичним відхиленням
Окрім математичного очікування, як характеристики положення випадкової величини застосовуються іноді медіана і мода. Медіаною
Для безперервної випадкової величини X медіана знаходиться з умови
або
Для дискретних випадкових величин медіана визначається неоднозначно і практично не уживається. Модою М (найімовірнішим значенням) називається таке значення випадкової величини X, для якого у разі дискретного розподілу ймовірність Р(Х = М), а у разі безперервного розподілу щільність вірогідності Загальними числовими характеристиками випадкової величини є моменти і ентропія, які є невипадковими величинами (числа). Характерний, що моменти нижчого порядку несуть в собі більше відомостей про випадкову величину, чим моменти вищого порядку. Моментом к-то порядку випадкової величини X щодо довільної точки а називається математичне очікування величини
Момент, що розглядається відносно початку координат (а = 0), називається початковим, а щодо математичного очікування (а = У табл. 2.3 приведені аналітичні вирази різних моментів для дискретної і безперервної випадкових величин. З приведених даних видно, що математичне очікування, визначене формулами (12) і (13), є початковим моментом першого порядку. Для будь-якої випадкової. величини центральний момент першого порядку рівний нулю, а центральний момент другого порядку є дисперсією. Абсолютні моменти парних порядків співпадають із звичайними моментами. При вирішенні практичних завдань найчастіше використовуються початковий момент першого порядку З центральним моментом третього порядку
У багатьох інженерних імовірнісних розрахунках, наприклад при вивченні проходження випадкових сигналів через лінійні і нелінійні системи, часто потрібно визначити щільність вірогідності Якщо зворотна функція
Рис. 2.1 Взаємно-однозначне функціональне перетворення; а - пряма функція, б — зворотна функція
Якщо зворотна функція
Рис. 2.2 Квадратичне (двозначне) перетворення: а — прямая функція, б — зворотна функція
Якщо число гілок зворотної функції більше двох, то в правій частині формули (23) слід брати суму по всіх гілках:
де Визначення числових характеристик випадкової величини
Для дискретної випадкової величини числові характеристики знаходяться по формулах:
|