Тема: Випадкові величини. Основні визначення і теореми.

Ціль:

1. Ознакомиться с поняттям події..
2. Ознакомиться с класифікацією подій.
3. Основні дії над подіями.
4. Формули Бернулі, Пуасона, Байеса, Муавра – Лапласа, Стірлінга.

Теоретичні відомості:

Подія — всякий факт, який в результаті досвіду може відбутися або не відбутися. Події підрозділяються на достовірні (U), неможливі (V) і випадкові (А, В, С,... или А₁, А₂, А₃,... ). Ймовірність достовірної події береться за одиницю, а ймовірність неможливого — за нуль:

P(U) = 1, P(V) = 0.

Ймовірністьбудь-якої події А поміщена між нулем і одиницею:

(6.1)

Якщо всякий раз, коли відбувається подія А, відбувається також подія В, то говорять, що подія А тягнеза собою подію В і позначають , де — знак включення. Якщо і в той же час , то події А і В називаються рівносильними (еквівалентними) і позначаються А = В. В цьому випадку Р(А) = Р(В).

Сумою або об'єднанням безлічі подій А₁, А₂, А₃,... називається така подія А, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається принаймні одна («хоч би одна») з цих подій. Сума подій А₁, А₂, А₃,... позначається

или .

де — символ об'єднання подій (логічна операція АБО).

З визначення суми подій безпосередньо витікають наступні співвідношення:

, , , , . (6.2)

Добутком (або перетином, або сполученням) подій А₁, А₂, А₃,... називається така подія , що відбувається тоді й тільки тоді, коли відбуваються всі події разом («одночасно»). Для позначення добутка подій застосовуються такі записи:

, или ,

де — символ перетину подій (логічна операція І).

Для добутку справедливі співвідношення:

, , , , . (6.3)

Для операцій множення і складання подій, вживаних спільно, справедливий звичайний розподільний (дистрибутивний) закон

(6.4)

і, крім того, так званий «другий розподільний закон»

(6.5)

Події А, В, С,... утворюють повну групу подій, якщо в результаті досвіду неодмінно повинно з'явитися хоч би одне з них. Іншими словами, сума подій, створюючих повну групу, є достовірна подія, тобто

.

Події А і В називаються несумісними, якщо їх сумісна поява неможлива, тобто якщо

.

Дві події називаються протилежними (додатковими), якщо вони несумісні і утворюють повну групу. Подія, протилежна події позначається . Знаходження протилежної події еквівалентне логічній операції НЕ (заперечення), іншими словами = не .

Для протилежних подій справедливі формули:

, , , , (6.6)

, , , .

Коли даний досвід має N равновозможных результатів, які несумісні і складають повну групу (схема випадків), ймовірністьподії

, (6.7)

де — число результатів, які приводять до настання події (сприяють події ).

При вирішенні задач на безпосередній підрахунок вірогідності з використанням формули (6.7) загальних способів для нахождения.чисел і немає. У багатьох випадках доцільно використовувати «комбінаторні» засоби, тобто теорію з'єднань (розміщень, перестановок, поєднань). При цьому часто доводиться обчислювати число поєднань

. (6.8)

Якщо значення і великі, то використовують наближену формулу Стірлінга

. (6.9)

Ця формула дає хорошу точність наближення і при порівняно невеликих значеннях . Так, наприклад, відносна погрішність не перевершує 0, 1 при , 0, 01 — при і 0, 001 — при .

У деяких задачах поняття равновозможних подій застосовується до дослідів з нескінченним числом результатів, коли числа N і визначити неможливо. Іноді ж простіше обчислити саму ймовірність події (відношення n/N), а не окремо числа ісходів і N. У таких випадках користуються геометричною вірогідністю, яка визначається формулою

, (6.10)

де G — геометрична міра (довжина, площа, об'єм і т. д.) всієї області, g — геометрична міра частини області G, попадання в яку сприяє події А.

Крім того, умови застосовності формули (6.7) вельми обмежені (формула застосовна тільки тоді, коли досвід зводиться до схеми випадків). У більшості практичних завдань, пов'язаних з реальними явищами, ймовірність безпосередньо пов'язують з емпіричним поняттям частоти.

Частотою або статистичною вірогідністю події А в даній серії дослідів називається відношення числа дослідів у яких з'явилася подія А, до загального числа N проведених дослідів:

, (6.11)

По теоремі Бернуллі при великому числі дослідів частота сходиться по вірогідності до вірогідності події, тобто при будь-якому

.

Визначення ймовірності складної події А через ймовірністьпростіших подій базується на використанні основних теорем теорії ймовірності (теорем складання і множення ймовірності і їх следствий).

Згідно теоремі складання ймовірностей ймовірність суми двох подій рівна сумі ймовірності цих подій мінус ймовірність їх добутку:

(6.12)

Якщо події А і В несумісні, то

(6.13)

Формули (6.12) і (6.13) узагальнюються на суму будь-якого числа подій.

Сума ймовірностей несумісних подій, складающих повну групу, рівна одиниці:

. (6.14)

Сума вірогідності двох протилежних подій рівна одиниці:

(6.15)

По теоремі множення ймовірностей для двох подій ймовірність добутку двох подій рівна добутку ймовірності одного з них на умовну ймовірність іншого за умови, що відбулося перше:

(6.16)

де — умовна ймовірність події А, тобто ймовірність події А, обчислена в припущенні, що мала місце подія В.

Якщо подія А статистично не залежить від події В, то = Р(А), причому події А і В називаються незалежними. При незалежних подіях А і В вираз (6.16) приймає вигляд

(6.17)

Формули (6.16) і (6.17) узагальнюються на подій .

Вирішення багатьох практичних завдань вимагає сумісного використання теорем складання і множення ймовірностей. Зокрема, за допомогою цих теорем проводиться розрахунок ймовірності безвідмовної роботи, наприклад радіотехнічних систем.

Вірогідністю безвідмовної роботи деякої системи (або її елементу) називають ймовірність того, що система (елемент) протягом встановленого часу працюватиме без відмов.

При об'єднанні декількох елементів в систему розрізняють їх паралельне з'єднання (резервування) і послідовне (основне). При паралельному з'єднанні (рис. 6.1) відмова системи можлива тільки при відмові всіх елементів, а при послідовному (рис. 6.2) відмова системи відбувається при відмові будь-якого елементу.

Рис. 6.1. Паралельне з'єднання Рис. 6.2. Послідовне з'єднання елементів елементів.

Ймовірність безвідмовної роботи системи з паралельно сполучених елементів

. (6.18)

де — ймовірність безвідмовної роботи -го елементу на інтервалі (0, t). Із збільшенням числа паралельно включених елементів ймовірність безвідмовної роботи системи зростає.

Если система состоит из последовательно соединенных элементов, то вероятность безотказной работы системы вычисляется по формуле

. (6.19)

Із збільшенням числа послідовно включених елементів ймовірність безвідмовної роботи системи убуває.

У багатьох реальних ситуаціях та або інша подія А може з'явитися лише як випадкове слідство одного з несумісних подій , (), корті входять в будь-яку повну групу подій і называються гіпотезами. В таких случаях безусловна ймовірність Р (А) події А при відомих ймовірностях гіпотез и умовних ймовірностях визначаеться по формулі повної (або середней) ймовірності.

. (6.20)

При цих же даних, тобто відомій ймовірності і можна знайти зміну ймовірності гіпотез ; якщо припустити, що подія А вже відбулося. Завдання подібного типу вирішуються за допомогою теореми гіпотез (або формули Байеса):

= . (6.21)

Ймовірність називається апріорною (додослідною), а — апостеріорной (післядослідною) або зворотною ймовірностью.

У теорії передачі повідомлень, теорії стрілянини, при контролі якості продукції і так далі часто виникають задочі за визначенням ймовірності появи якоїсь події А в результаті серії дослідів, в кожному з яких ця подія може відбутися або не відбутися. Найпростіше вони вирішуються тоді, коли досліди є незалежними, тобто ймовірність того або іншого результату досвіду не залежить від того, які результати мали інші досліди.

Спосіб вирішення подібних задач дає теорема про повторення дослідів (формула

Бернуллі).

Ймовірність того, що при незалежних дослідах (випробуваннях) подія А з'явиться рівно раз, якщо при кожному досвіді ймовірність події А однакова і рівна р, визначається формулою

, (6.22)

де .

Формулою (6.22) незручно користуватися при великих . В цьому випадку для підрахунку ймовірності застосовують наближені формули.

Якщо велике, р мало, а має кінцеве значення, то користуються наближеною формулою Пуассона

. (6.23)

Наближене значення відносної погрішності при застосуванні формули (6.23) замість (6.22) рівно

.

Коли не дуже мале, то застосовується локальна формула Муавра — Лапласа:

, (6.24)

де

, .

Наближене значення відносної погрішності при обчисленні ймовірності за формулою (6.24) дорівнює

.

За допомогою формули (6.22) можна обчислити ймовірністьтого, що при незалежних дослідах подія А, що має ймовірність р, з'явиться не менше раз:

= . (6.25)

Ймовірністьпояви події хоч би один раз при дослідах дорівнює

. (6.26)

Ймовірність того, що при незалежних дослідах подія А, що має ймовірність р, з'явиться не більш раз, визначається виразом

. (6.27)

Якщо ймовірність появи події в кожному досвіді дорівнює р, то ймовірність того, що в серії з незалежних дослідів подія А з'явиться від до разів включно, дорівнює

. (6.28)

При великих , і цією формулою користуватися складно. В цьому випадку використовують наближену інтегральну формулу Муавра — Лапласа

. (6.29)

де

, , .

Кількість дослідів, які потрібно провести для того, щоб з ймовірністю, не меншою можна було стверджувати, що дана подія відбудеться принаймні один раз, знаходиться по формулі

. (6.30)

Більш ймовірним числом появ події А в незалежних дослідах називається таке значення при якому ймовірність найбільша. Це число визначається по формулі

. (6.31)

Якщо — дробне число, то нерівність (6.31) визначає одне значення найбільш ймовірного числа. Якщо ж — ціле число, ту нерівність (6.31) визначає два значення значення найбільш ймовірного числа.

Формула (6.22) складає зміст так званої приватної теореми про повторення дослідів. Відомо декілька її узагальнень. Одне з них відноситься до випадку, коли із-за умов, що змінюються, при проведенні незалежних дослідів ймовірність р міняється від одного досвіду до наступного (загальна теорема про повторення дослідів). В цьому випадку ймовірність появи події А рівно раз визначається по виробляющій функції:

, (6.32)

де — ймовірність появи події в -м досвіді, .

Шукана ймовірність дорівнює коефіцієнту при у розкладанні виробляющії функції і може бути визначена диференціюванням функції :

. (6.33)

Інше узагальнення формули (6.22) відноситься до випадку, коли кожен досвід може мати не два, а більше число ісходів. Якщо, наприклад, при кожному повторенні досвіду може відбутися тільки одна з подій відповідно з ймовірностями , , то ймовірність того, що при незалежних досвідах подія з’явиться раз, подия з’явиться раз и так далі, подія з’явиться , , визначається формілою поліноміального розподілу

. (6.34)

Ймовірність є коефіцієнтом при у розкладанні по ступенях аргументів полінома

, (6.35)

що є виробляющою функцією для сукупності чисел .

Приклад 1.

Проводиться прийом кодових комбінацій, що містять п'ять цифр від 1 до 5.

Яка ймовірність Р(А) того, що в прийнятій комбінації цифри утворюють послідовність 12345?

Розв’язання. Число всіх рівноможливих випадків N рівне числу перестановок з п'яти елементів, тобто N = =5! =120. З цих випадків, що сприяють події А є тільки один, тобто =1. Отже, Р(А)= n/N = 1/5! = 1/120.

Приклад 2.

За даними ремонтної майстерні в середньому з 100 відказів телевізора 50% обумовлено виходом з ладу електронних ламп, 15% — конденсаторів, 12% — резисторів, 5% — кінескопів, а решта відмов обумовлена іншими причинами.

Знайти ймовірність відмови телевізора по інших причинах.

Розв’язання. По умові ймовірності виходу з ладу телевізора із-за відмови різних елементів рівні:

= 0, 5; = 0, 15; = 0, 12; = 0, 05,

де , , , - відмови телевізора, обумовлені відповідно виходом з ладу електронних ламп, конденсаторів, резисторів і кінескопів. Події , , , , складають повну групу. Отже,

= = 1 —(0, 5 +0, 15 +0, 12 +0, 05) == 0, 18.

Приклад 3.

Виявлення повітряної цілі проводиться незалежно двома станціями радіолокацій. Ймовірність Р(А) виявлення цілі першою станцією дорівнює 0, 7. Ймовірність Р(В) виявлення цілі другою станцією дорівнює 0, 8.

Визначити ймовірність Р(С) того, що ціль буде виявлена хоч би однією станцією.

Розв’язання. По умові події А і В незалежні, тому ймовірність сумісної події АВ (мета виявлена обома станціями)

Р (АВ) = Р (А) Р (В) = 0, 7∙ 0, 8=0, 56.

Використовуючи формулу (6.12), отримуємо

Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ) = = 0, 7 + 0, 8 — 0, 56 = 0, 94.

Приклад 4.

Кожна буква слова «математика» написана на окремій картці, картки ретельно перемішані. Послідовно витягуються чотири картки.

Яка ймовірність Р(А) отримати слово «тема»?

Решение. Нехай , , , — події, що складаються в послідовному вилученні букв «т», «е», «м», «а». Тоді відповідні ймовірності рівні: , , , .

Застосовуючи узагальнену формулу (6.16), отримуємо

P(A)= = = .

Пример 5.

Система управління складається з чотирьох вузлів , , , (рис. 6.3). Ймовірності , безвідмовної роботи вузлів відповідно рівні , , , .

Обчислити ймовірність безвідмовної роботи Р всієї системи управління.

Рис. 6.3. Структурна схема системи управління

Розв’язання. Ймовірність безвідмовної роботи ланцюга з двох послідовно сполучених елементів , згідно формулі (6.19) дорівнює

.

Ймовірність безвідмовної роботи ланцюгу, що складається з двох паралельно сполучених елементів , , визначимо по формулі (6.18):

.

Застосовуючи формулу (6.18) ще раз, отримуємо:

= .

Приклад 6.

Ймовірність того, що параметри одного з трьох блоків радіостанції (антенно-фідерного пристрою, приймача або передавача) вийдуть за час польоту літака з допусків, дорівнюють відповідно 0, 1; 0, 2 і 0, 3. Якщо з поля допусків вийшли параметри одного блоку, зв'язок не буде встановлений з ймовірністю 0, 25, якщо двох блоків, то 0, 4, якщо трьох, то 0, 5.

Знайти ймовірність Р (А) того, що зв'язок не буде встановлений.

Розв’язання. До події А, що нас цікавить, ведуть три гіпотези: — за поле допусків вийшли параметри одного блоку; — за поле допусків вийшли параметри двох блоків; — за поле допусків вийшли параметри трьох блоків.

Згідно теоремі складання і множення вірогідності маємо

=0, 398,

=0, 092,

= 0, 006.

По умові =0, 25, =0, 4, =0, 5.

Отже, по формулі повної ймовірності (6.20) отримаємо

=0, 398∙ 0, 25+0, 092∙ 0, 4 + 0, 006∙ 0, 5 0, 139.

Приклад 7.

По каналу зв'язку, схильній дії перешкод, передається одна з двох команд управління у вигляді кодових комбінацій 11111 або 00000, причому апріорна ймовірність передачі цих команд відповідно дорівнює 0, 7 і 0, 3. Із-за наявності перешкод ймовірність правильного прийому кожного з символів (1 і 0) зменшується до 0, 6. Передбачається, що символи кодових комбінацій спотворюються незалежно один від одного. На виході приймального пристрою зареєстрована комбінація 10110. Визначити, яка команда була передана?

Розв’язання: Хай А — подія, що полягає в прийомі комбінації 10110. До цієї події ведуть дві гіпотези: — була передана комбінація 11111; — була передана комбінація 00000. По умові =0, 7; =0, 3. Умовна ймовірність прийому кодової комбінації 10110 замість 11111 дорівнює

= 0, 6∙ 0, 4∙ 0, 6∙ 0, 6∙ 0, 4 0, 035.

Аналогічно

= 0, 4∙ 0, 6∙ 0, 4∙ 0, 4∙ 0, 6 0, 023.

По формулі (6.21) знаходимо

= ,

= .

Порівнюючи знайдену умовну ймовірність, укладаємо, що при появі на виході комбінації 10110 з ймовірністю 0, 78 була передана команда 11111.

Приклад 8.

Робиться 6 незалежних пострілів по цілі. Ймовірність р попадання при кожному пострілі дорівнює 0, 75. Обчислити: 1) ймовірність рівно п'яти попадань; 2) ймовірність не менше п'яти попадань; 3) ймовірність більше трьох промахів.

Розв’язання. 1. По умові ймовірність попадання при кожному пострілі = 0, 75. Отже, ймовірність промаху = 0, 25. Ймовірність рівно п'яти попадань по формулі (6.22) дорівнює

= =6∙ (0, 75)⁵∙ 0, 25 0, 356.

2. Вимога, щоб при 6 пострілах було не менше п'яти попадань, буде задоволена, якщо здійсниться 5 або 6 попадань.

Ці події несумісні. Тому по формулі (6.25) маємо

= + = 6∙ (0, 75)⁵∙ 0, 25+ (0, 75)⁶ 0, 534.

3. Ймовірністьтого, що при 6 пострілах буде більше трьох промахів, дорівнює вірогідності того, що при цих 6 пострілах буде менше трьох попадань (або жодного попадання, або одне, або два попадання). Використовуючи формулу (6.27), отримаємо

= + + =6∙ (0, 25)⁵∙ 0, 75+(0, 25)⁶+ +15∙ (0, 75)²∙ (0, 25)⁴ 0, 0376.

Приклад 9.

Ймовірність р появи події А при кожному випробуванні дорівнює 0, 2. Проводиться 400 незалежних випробувань.

Визначити ймовірність того, що: 1) подія А наступить рівно 80 разів; 2) подія А наступить від 60 до 96 разів включно.

Розв’язання. 1. Скористаємося наближеною локальною формулою Муавра — Лапласа (6.24). По умові = 400; = 80; р = 0, 2; q = 0, 8. Отже

== (80 — 400∙ 0, 2)/ =0.

Тоді

.

По таблиці (див. додаток I) знаходимо =0, 3989. Остаточно отримуємо

0, 0499.

2. Використовуємо наближену інтегральну формулу Муавра — Лапласа (6.29)

= , =

По таблиці (див. додаток II) знаходимо Ф(2)=0, 977; Ф(2, 5)=0, 994.

Отже,

=0, 977—1+0, 994=0, 991.

Приклад 10.

Протитанкове знаряддя веде стрілянину по танку. Всього робиться 6 пострілів, причому ймовірність попадання в танк при кожному пострілі дорівнює 0, 3.

Розрахувати: 1) найімовірніше число влучень у танк; 2) число пострілів, необхідних для того, щоб з ймовірністю 0, 9 уразити танк, якщо для цього достатньо одного попадання.

Розв’язання. 1. Найімовірніше число влучень знаходимо по формулі (6.31). По умові, = 6, р = 0, 3, q = 1 — р = 0, 7.

Отже, , тобто .

Між числами 1, 1 і 2, 1 поміщено лише одне ціле число — 2.

Тому найімовірніше число = 2.

2) Застосувавши формулу (6.30), отримаємо

6, 45.

Таким чином, для поразки танка з ймовірністю 0, 9 досить зробити 7 пострілів.

Приклад 11.

Система наведення ракети має чотири датчики інформації про ціль , , , інформація з яких надходить в систему управління ракетою. Кожен датчик незалежно від інших визначає параметри руху цілі. Ймовірності правильного визначення параметрів відповідними датчиками рівні: = 0, 9, = 0, 95, = 0, 8, = 0, 85.

Обчислити ймовірність , = 0, 1, 2, 3, 4, того, що правильну інформацію не видасть жоден датчик і видадуть один, два, три, чотири датчика.

Розв’язання. Для визначення ймовірностей складемо виробляющу функцію. Заумовою, = 4; = 0, 9, =0, 1, = 0, 95, =0, 05, = 0, 8, =0, 2, = 0, 85, =0, 15.

Тоді

=

= .

Шукана ймовірність рівні коефіцієнтам при . Отже,

=0, 0002, =0, 0056, =0, 0696, =0, 3432, р4 D)=0, 5814.

Приклад 12.

На ділянці обстрілу знаходяться три цілі. Ймовірність попадання в першу, другу і третю цілі відповідно рівні = 0, 4, = 0, 3, = 0, 2. По ділянці зроблено 12 пострілів.

Яка ймовірність того, що в першу ціль попаде 5 снарядів, в другу — 4, в третю — 2 снаряди?

Розв’язання. За умовою, = 12, = 0, 4, = 0, 3, = 0, 2, = 1 — ( + + )= =1—0, 9=0, 1, = 5, = 4, = 2, =12—5—4—2=1. Тут — ймовірність попадання в область, що знаходиться поза цілей, — число влучень у цю область.

Згідно формулі (6.34)

шукана ймовірність

0, 0276.

Завдання.

1. Приймаються кодові комбінації, що містять п'ять цифр, що не повторюються, від 1 до 5.

Яка ймовірність Р того, що в одній прийнятій комбінації цифри утворюють послідовність 12345?

2. Проводиться бомбометання по трьом складам боєприпасів, причому скидається одна бомба. Ймовірність попадання в перший склад дорівнює 0, 01, в другий — 0, 008, в третій — 0, 025. При попаданні в один з складів вибухають всі три.

Визначити ймовірність того, що склади будуть підірвані.

3. По каналу зв'язку передаються два сигнали: нуль і одиниця. Із-за наявності перешкод посланий сигнал приймається помилково з ймовірністю 0, 01 і приймається правильно з ймовірністю 0, 99 (незалежно від того, були прийняті попередні сигнали з помилкою або правильно).

Знаючи, що послана комбінація 10110, знайти ймовірність того, що: а) вона прийнята без спотворень; б) прийнята комбінація 11110.

4. Между корреспондентами М и N происходит обмен информацией по схеме, приведенной на рис. 6.5, где и - кінцева апаратура, а , , — канали, що взаємно резервують один одного. Виходи з ладу елементів схеми-незалежні події.

Ймовірності безвідмовної роботи елементів , , , , за час Т відповідно дорівнюють: 0, 8; 0, 7; 0, 9; 0, 6; 0, 5.

Яка ймовірністьтого, що за час Т не відбудеться перерви зв'язку?

Рис. 1.6. Система передачі інформації з трьома паралельними елементами

5. Зв'язна літакова радіостанція може працювати в трьох режимах по потужності: повною, половинною і при потужності, що становить 25% від повної потужності. Ймовірністьроботи радіостанції в цих режимах відповідно дорівнює 0, 7; 0, 1; 0, 2.

Ймовірність відмови радіостанції при роботі в цих режимах за час Т складає відповідно 0, 3; 0, 2; 0, 05.

Визначити ймовірність того, що за Т годин роботи радіостанція не вийде з ладу.

6. Радіоелектронний комплекс літака-бомбардувальника включає 10 об'єктів. Ймовірність безвідмовної роботи кожного об'єкту протягом часу Т дорівнює 0, 9. Об'єкти виходять з ладу незалежно один від одного.

Обчислити ймовірність того, що за час Т: а) відмовить хоч би один об'єкт; б) відмовлять рівно два об'єкти; у) відмовлять не менше двох об'єктів.

7. На обмежувач поступає послідовність з восьми випадкових по амплітуді незалежних відеоімпульсів. Ймовірність перевищення порогу обмеження кожним імпульсом дорівнює 0, 25.

Обчислити: а) ймовірність того, що з 8 імпульсів не менше 6 видеоімульсів перевищить поріг; б) найімовірніше число відеоімпульсів, що перевищили поріг.

8. Ймовірність попадання в літак при одному пострілі дорівнює 0, 01. По літаку робиться 100 незалежних пострілів.

Визначити ймовірність двох попадань в літак.

ДОДАТОК I

Таблиця нормальної щільності ймовірності

0, 0	0, 3989
0, 1
0, 2
0, 3
0, 4
0, 5
0, 6
0, 7						ЗОН
0, 8
0, 9
1, 0	0, 2420
1, 1
1, 2
1, 3
1, 4
1, 5
1, 6
1, 7
1, 8
1, 9
2, 0	0, 0540
2, 1
2, 2
2, 3
2, 4
2, 5
2, 6							0116 -
2, 7
2, 8
2, 9
3, 0	0, 0044		0042-
3, 1
3, 2			⇐ Предыдущая123456789 Поделиться с друзьями: