Тема: Характеристичні і виробляющі функції.

Ціль:

1. Ознайомитися з поняттям абсолютного моменту.

2. Ознайомитися з поняттям факторіального моменту.

3. Ознайомитися з поняттям характеристичної функції.

4. Ознайомитися з поняттям виробляющії функції.

Теоретичні відомості:

В деяких випадках використовуються абсолютні і факторіальні моменти, які відповідно визначаються формулами:

, (28)

(29)

де .

За допомогою факторіальних моментів можна в компактнішому вигляді записати моменти деяких дискретних розподілів (типу біноміального) і, крім того, в завданнях певного класу, що включають дискретні випадкові величини, часто зручно знаходити початкові моменти , заздалегідь обчисливши факторіальні.

Моменти — не єдині постійні, такі, що характеризують розподіл випадкової величини. Для теорії корисніша інша сукупність постійних, званих семіінваріантами (або кумулянтами) . Відмінність їх від моментів щодо довільної крапки полягає в тому, що всі семіінваріанти (за винятком першого) інваріантні щодо зміни початку відліку. Назва «семіінваріанти» якраз і обумовлена їх інваріантними властивостями.

Різні моменти і семіінваріанти зв'язані між собою наступними співвідношеннями:

(30)

(31)

, (32)

, …

, (33)

, …

, , , (34)

, …

, , (35)

, , …

, , , … (36)

, , , … (37)

, , , … (38)

, …

, , , (38)

, …

У формулах (34) і (35) передбачається, що можливі значення випадкової величини відрізняються на одиницю.

У разі аналітичного завдання закону розподілу (у вигляді формули) визначення моментів зводиться до обчислення відповідних сум і інтегралів (див. табл. 2.3). Розрахунок моментів спрощується, якщо скористатися апаратом характеристичних функцій.

Характеристична функція визначається як математичне очікування випадкової величини , тобто

, (39)

де - дійсна величина, .

Використовуючи представлення щільності вірогідності у вигляді суми дельта-функцій, формулу (39) можна розповсюдити на дискретні випадкові величини:

(40)

де — можливі значення випадкової величини , - відповідні їм ймовірності.

Щільність вірогідності однозначно виражається через характеристичну функцію:

, (41)

З (40) видно, що при зміні знаку у показника експоненти визначення характеристичної функції співпадає з визначенням спектральної функції. Тому для знаходження по відомій щільності або по можна користуватися таблицями перетворень по Фурье (або по Лапласу з урахуванням меж інтеграції).

Для визначення моментів випадкової величини потрібно обчислити -у похідну від характеристичної функції по параметру і покласти :

. (42)

Семіінваріанти визначаються із співвідношення

(43)

Замість характеристичних функцій часто використовуються так звані виробляющі функції:

. (44)

Істотна відмінність між ними полягає в тому, що характеристична функція існує завжди, а виробляюща функція — тільки у разі існування всіх моментів.

У табл. 2.4 приведені формули для основних числових характеристик дискретних законів розподілу, а в табл. 2.5 — для найбільш поширених безперервних законів розподілу.

Приклад 1. По каналу зв'язку з перешкодами передається кодова комбінація, що складається з двох імпульсів. В результаті незалежної дії перешкоди на ці імпульси кожен з них може бути пригнічений з вірогідністю р.

Визначити характеристичну функцію випадкової величини — числа пригнічених перешкодами імпульсів.

Розв’язання. Можливі значення дискретної випадкової величини X: , , .

Вірогідності ціх значень відповідно рівні: , , .

Згідно формулі (40) маємо:

= = = = .

Пример 2. Випадкова величина має рівномірну щільність вірогідності в інтервалі від до .

Визначити характеристичну функцію випадкової величини і намалювати її графік.

Розв’язання. Оскільки випадкова величина розподілена на інтервалі від до , щільність вірогідності . Тоді по формулі (39):

.

Графіки щільності вірогідності і відповідною їй характеристичній функції приведені на рисунку.

а) б)

Рис. Рівномірна щільність вірогідності (а) і відповідна їй характеристична функція (б)

Приклад 3.

Знайти щільність вірогідності випадкової величини , характеристична функція якої має вигляд

Розв’язання. Згідно формулі (41) маємо

= = = ,

оскільки .