Приклад 5.

Знайти центральні і центральні абсолютні моменти випадкової величини , розподіленою по рівномірному закону .

Розв’язання.

Момент, що розглядається щодо математичного очікування (а = ) називається центральним, тобто .

Для дискретної випадкової величини математичне очікування , якщо — безперервна випадкова величина з щільністю вірогідності , то .

Моментом -то порядку випадкової величини X щодо довільної точки називається математичне очікування величини :

Тоді для дискретної випадкової величини = , для безперервної випадкової величини - = .

Абсолютний момент - го порядку , тоді абсолютний центральний момент - го порядку . Тоді для дискретної випадкової величини , для безперервної випадкової величини - .

Знайдемо математичне очікування

= = = == .

Інтеграл , як інтеграл від непарної функції в симетричних відносно початку координат межах.

Для знаходження другого інтеграла використовуємо інтеграл Пуассона , тоді .

Остаточно, .

Знайдемо центральний момент .

= = .

При - непарному – интеграл, то =0.

При - парному, .

= = = = = =

= = = = .

Остаточно, отримуємо: .

Знайдемо абсолютний центральний момент - го порядку .

= = = =

= + .

= = .

= = = = = = = .

Завдання 1.

1. Показати, що початковий факторіальний момент четвертого порядку випадкової величини пов'язаний з початковими моментами наступним співвідношенням:

.

2. Випадкова величина підпорядкована розподілу з щільністю вірогідності , . Обчислити характеристичну функцію .

3. За однією і тією ж стартової позиції противника проводиться пуск п'яти ракет, з імовірністю влучення в ціль при кожному пуску. Випадкова величина X (число влучень у ціль) може прийняти такі значення: , , , , , . Ці значення випадкова величина приймає з імовірностями , які відповідно дорівнюють: , , , , , .

Визначити характеристичну функцію випадкової величини — числа пригнічених перешкодами імпульсів.

4. Знайти центральні і центральні абсолютні моменти випадкової величини , розподіленою по рівномірному закону .

8. Показати, що розподіл з характеристичною функцією володіє щільністю вірогідності .

8. Знайти центральні і центральні абсолютні моменти випадкової величини , розподіленою по закону гауса .