Основные сведения. Метод фазовой плоскости используется для исследования поведения линейных и нелинейных систем второго порядка.

Метод фазовой плоскости используется для исследования поведения линейных и нелинейных систем второго порядка.

Модель линейной системы второго порядка в пространстве состояний имеет вид:

ẋ = x2,

ẋ 2 = -a0*x1-a1*x2 + b*u,

x1, x2 – координаты состояния; u – входной сигнал; ai – постоянные коэффициенты. Плоскость с координатами x1 и x2, характеризующими поведение системы, называется фазовой плоскостью. Траектория движения изображающей точки на фазовой плоскости называется фазовой траекторией. Уравнение фазовой траектории можно получить из уравнения (1), если исключить время

– a1 – a2 * + b * ,

а переменную x1 рассматривать в качестве независимой переменной.

Фазовые траектории строятся при различных начальных условиях по x1 и x2, входное воздействие полагается равным нулю или некоторой константе. Совокупность фазовых траекторий, заполняющая всю фазовую плоскость, называется фазовым портретом. Построение фазового портрета осуществляется, как правило, тремя способами: аналитическим методом (находится решение дифференциального уравнения(2)), методом изоклин и с помощью машинного моделирования.

На фазовых портретах выделяют особые точки или точки равновесия системы, в которых не существует определенного направления касательной к фазовой траектории, т.е. dx2/dx1 = 0/0. В особых точках фазовые траектории не пересекаются друг с другом. Фазовые траектории сходятся к особым точкам или выходят из них.

Тип особой точки зависит от устойчивости, т.е. определяется корнями характеристического уравнения. Сходящийся (расходящийся) процесс имеет на фазовой плоскости особую точку типа «устойчивый (соответственно неустойчивый) узел», если корни характеристического уравнения действительные отрицательные (положительные). Расходящемуся процессу будет соответствовать точка типа «седло», если действительные корни характеристического уравнения имеют разные знаки. Колебательному сходящемуся (расходящемуся) процессу соответствует особая точка типа «устойчивы (неустойчивый) фокус». Если фазовые траектории имеют вид замкнутых кривых, вложенных друг в друга и охватывающих особую точку, то эта особая точка называется центром.

Фазовую траекторию можно развернуть во времени, получив вид переходного процесса. Значение выходной переменной в i -й момент времени определяется по абсциссе изображающей точки. Фиксируя два момента времени i -й и j -й, которым соответствуют значения координат состояния (x 1i, x2i) и (x1j, x2j), оценивают величину интервала ∆ t=tj - ti. Изображая на плоскости точки с координатами (x1i, ti) и (x1j, tj) и соединяя их линией, получают участок переходного процесса. Для построения всего переходного процесса эта последовательность действий повторяется несколько раз.

Иногда удается оценить значение ∆ t между двумя изображающими точками фазовой траектории, заменив дифференциалы dx1, dx2, dt в (1) соответствующими приращениями.

Переходный процесс можно построить качественно. Например, если тип особой точки – устойчивый фокус, то координата x1 (или выходная переменная y) обращается в нуль ( при u=0) через равные промежутки времени (∆ t), которые можно оценить по параметрам системы (1).

∆ t = , ω = ,

Если фазовый портрет имеет особую точку типа «центр», то амплитуда колебаний (А) определяется абсциссой точки (x1i, 0), а произведение (Аω), где ω - частота колебаний, ординатой точки (0, x2j), принадлежащей замкнутой линии.